[rrrto2005]

Hola dice así: Sea G un grupo finito de orden mn con m y n relativamente primos. Si
existe x ∈ G de orden n y si existe y ∈ G de orden m y además xy = yx,
entonces G =< xy >.

Mi demostración se basa en que si < xy > tiene orden m*n entonces es igual a G. Hasta ahora, he demostrado que (xy) elevando a m*n efectivamente da 1. Pero falta demostrar que m*n efectivamente es el menor entero que cumple esa gracia. Ahí es donde estoy fallando y sé que hay hay que ocupar la hipótesis de que m y n son relativamente primos pero no sé cómo. ¡Alguna ayuda?

Título corregido: un problema de grupos ---> Un problema de grupos

[Carlos Ivorra]

Supón que \( (xy)^r = 1 \). Como conmutan, \( x^ry^r = 1 \), luego \( x^r=y^{-r} \).

Ahora usa que este elemento está en \( <x>\cap <y> \).

[rrrto2005]

Todavía no entiendo como seguir. Mi idea es suponer un r<m*n y tal que que (xy)^r= 1 y llegar a un contradicción. Llego a la misma relación x^r=y^-r pero luego no se cómo usar el hecho de que  x^r estan en la intersección de <x> y <y>

[Carlos Ivorra]

¿Cuántos elementos tiene el grupo \( <x> \)? ¿Y \( <y> \)?, ¿y \( <x>\cap <y> \)?

Ten presente que la intersección de dos subgrupos es un subgrupo de ambos, y que el número de elementos de un subgrupo tiene que dividir al número de elementos del grupo.