[mathsandphysics]

Saludos compañeros. En este ejercicio me dicen lo siguiente. Sean F,G dos subespacios vectoriales de \( \mathbb{R}_3[x] \) tales que

\( F=\langle x, x(x-1), x(x-1)(x-2) \rangle \)

\( G=\{ p(x) \in \mathbb{R}_3[x]\; : p(-1)=0 \}  \)

Me piden, en primer lugar, calcular bases, ecuaciones y dimensión de \( F+G \) y de \( F \cap G \).

No sé muy bien cómo cogerlo. Una base de \( \mathbb{R}_3[x] \) es \( \{ 1,x,x^2,x^3 \} \), aunque no sé si es la más cómoda para usar en este caso.

Agradezco cualquier ayuda.

Saludos

[HernanV]

Como bien dices, te conviene trabajar con las coordenadas. Resuelves todo como si fueran "vectores comunes" y después vuelves al polinomio a través de la base.

[mathsandphysics]

¡Gracias!, con coordenadas todo se simplifica.

En el siguiente apartado me pide lo siguiente:

Dad una base de cada uno de los espacios cocientes \( E/F, \; E/G, \; E/F \cap G \; \text{y} \; E/F+G \). Considerad en cada uno la clase del polinomio constante 1 y determinad sus coordenadas en la base que hayáis escogido.

Tengo un par de dudas conceptuales. Por ejemplo, una base de \( E/F \) me sale \( \{ [1] \} \). Por tanto, expresado en coordenadas, ¿sería el vector \( (1) \)? Por otro lado tengo que \( F+G=E \), por lo que deduzco que \( E/F+G=\{ [0] \} \). Por tanto, no puedo expresar el vector 1 como combinación lineal porque no tiene base, ¿cierto?

Muchas gracias de nuevo

Nota: \( E= \mathbb{R}_3[x] \)