Hola necesito ayuda con este ejercicio, no entiendo como descomponer 14036 en un producto de potencias de primos.
Hola. Nadie lo entiende todavía del todo, si es que hay algo más que se pueda entender; hay que tantear ,no hay una manera automática. Pero dentro de las formas de tantear, las hay que se hacen más largas o más cortas.
Lo mejor es hallar la raíz cuadrada del número 14036, que es 118,47... Tienes que quedarte con la parte entera, 118.
Buscas los primos menores que 118.
Naturalmente, hasta 118 hay unos cuantos primos y la mayoría de la gente no se los sabe de memoria, por lo que tendrás que buscar una lista.
Por qué se hace eso, por qué se obtiene la raíz cuadrada. Pues porque \( 119^2>14036 \) y cualquier componente primo de 14036, sea cual sea, tendrá que ser menor 119; y también tendrá que ser menor que 118 porque éste es el siguiente hacia abajo y además es par y, por tanto, no es primo.
Sin embargo, quizá podamos descartar algunos primos más.
Esto que había puesto antes no era verdad, lo meto en un spoiler para que no moleste Spoiler
Resulta que \( 13\cdot 13>118 \) con lo que 118 no es múltiplo \( 13^2 \) y, por tanto, si lo fuera de 13, tendría que serlo también de algún otro primo menor que 13.
Entonces si fuera \( 14306=13^{2k}\cdot p_1^2 \cdot p_2 ^2... \) ese “2k” tendría que ser menor que cuatro (si con 118 no había un 13 al cuadrado, ahora, como tenemos en 14306 casi casi el cuadrado de 118, no podrá ser 13 a la cuarta, porque es mayor que 14306).
Luego \( 2k<4 \), de donde \( k<2 \). Pero entonces “k” sólo puede ser 1, con lo que no puede haber ninguna potencia mayor que 2 para 13, y ya hemos visto que no puede ser; es decir, se concluye que \( 13^2 \) no es componente primo de 14306. Y exactamente la misma deducción puedes hacer para cualquier primo mayor que 13.
Luego, qué pasa si pruebo a dividir entre 11 y entre los primos menores le siguen: 7, 5, 3, 2. Pues que si, al probar dividiendo 14306 entre estos primos todas las veces que se pueda, aparece un número natural distinto de 11 ó 7 ó 5 ó 3 ó 2, tiene que ser un primo; por qué, porque si fuera compuesto se tendría que componer con alguno de de ésos (11,7,5,3,2); te lo muestro con el ejemplo más claro:
No puede estar compuesto ni por \( 13^2 \) ni por la potencia de ningún primo mayor que 13;
el siguiente primo mayor que 13 es 17, luego \( 13\cdot 17>13 \cdot 13 \) y tampoco puede ser; y lo mismo con cualquier primo mayor que 17, lo único que podría ser, quizá, es, por ejemplo
\( 11 \cdot 17 \) ó \( 5 \cdot 31 \).. cosas así.
Eso en rojo no es verdad. Sí podría estar compuesto en principio por \( 13^2 \) o incluso por \( 13^3 \) puesto que \( 2 \cdot 13^3 <14036 \), lo que pasa es que al ser divisible por 11 ya no puede estar compuesto por 13 al cubo dado que trece al cubo por 11 sí es mayor que el número dado.
En definitiva, que basta con que pruebes de 11 para abajo, empezando por el menor, volviendo a probar por el menor para ver si fuera posible... si ya no se puede, por el siguiente, otra vez por ese mismo, si ya no se puede por el otro... y así hasta el final.
Antes de hallar la raíz, viendo que es par, lo podemos dividir entre 2. Vuelve a acabar en par, así que lo dividimos otra vez entre dos y te queda 3509.
Si ahora extraes la raíz cuadrada, el resto de los componente primos tienen que ser iguales o menores que la parte entera de la raíz. Esa parte entera es 59.
Análogamente a como habíamos hecho antes dividiendo entre 2, ahora dividimos 59 por el primo más pequeño que no es 2, o sea 3.
Queda 19,666.. por lo que el la descomposición es menor o igual que \( 3 \cdot 19 \), luego no puede haber un
ningún primo mayor que 19. Los primos a partir de 19 y hacia abajo son fáciles de aprender:
19, 17, 13, 11, 7, 5, 3
Ahora, con los criterios de divisibilidad que te sepas, como te dice mente oscura, si puedes, eliminas primos, si no te supieras alguno, pues no es mucho trabajo probar a dividir por esos 7 primos.
Saludos.
Saludos.
