Saludos a todos y Gracias de antemano. Mi problema es el siguiente.
Considerando dos componentes eléctricos que operan independientemente, cada uno con una vida útil gobernada por la distribución exponencial con media 1. Use el método de las funciones generadoras de momento para obtener la función de densidad para el promedio de vida útil de los dos componentes.
Sabiendo que la función exponencial es \( f(y)=\displaystyle\frac{1}{\beta}e^\left<{-y/\beta}\right> \)
con la media=\( \beta=1 \) , entonces \( f(y)=e^\left<{-y}\right> \)
Usando la función generadora de momentos
\( m(t)=E\left<{e^\left<{tY}\right>}\right> \) \( =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^\left<{ty}\right> \)\( f(y)dy \)
sustituyendo en la función generadora de momentos
\( m(t)=E\left<{e^\left<{tY}\right>}\right> \)\( =\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^\left<{ty}\right> \)\( e^\left<{-y}\right>dy \)
Resolviendo la integral
\( =\displaystyle\frac{1}{(1-t)\right>}=(1-t)^\left<{-1}\right> \)
pero como son dos componentes eléctricos
\( (1-t)^\left<{-1}\right> \) \( \times{} \) \( (1-t)^\left<{-1}\right> \) = \( (1-t)^\left<{-2}\right> \)
Esta sería una función generadora de momentos parecida a la de \( gamma= (1-\beta t)^\left<{-\alpha }\right> \)
donde \( \beta=1, \alpha=2 \)
Ahora si se sustituyen los valores de \( \beta \) y \( \alpha \), en la función de probabilidad gamma
\( f(y)= \)\( \displaystyle\frac{1}{\Gamma(2)(1^\left<{2}\right>)} \)\( y^\left<{2-1}\right> \)\( e^\left<{-y/1}\right> \)
\( =ye^\left<{-y}\right> \)
Pero en las respuestas del libro marca como:
\( \beta=1/2 \) , \( \alpha=2 \) y \( f(y)= 4ye^\left<{-2y}\right> \)
No encuentro mi error.
\( \)
