Hola Pepe,
seguramente no tienes problemas para obtener una matriz escalonada usando operaciones elementales. La idea entonces es encontrar cómo escribir esas operaciones elementales pero ahora como una multiplicación entre la matriz y matrices elementales.
Estudia qué pasa en los siguientes casos (qué operación elemental resulta):
\( \begin{bmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}1&0&0\\a&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
etc
(se obtienen operaciones elementales del tipo: \( f_i+a f_j \))
\( \begin{bmatrix}a&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}1&0&0\\0&a&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
por último, con las multiplicaciones del tipo:
\( \begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} \)
obtendrás una matriz con filas o columnas cambiadas.
