Hola.
Me piden usar las sumas de Riemann para hallar los siguientes límites:
a) \( \lim \left( \displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{1}{n+2}+ \ldots + \displaystyle\frac{1}{n+n}\right) \)
b) \( \lim \displaystyle\frac{1}{n}\left(\sqrt[ n]{e^1}+ \sqrt[ n]{e^2}+ \ldots+ \sqrt[ n]{e^n} \right) \)
a) Tengo que para \( i=1, \ldots , n \) cada sumando puede expresarse como \( \displaystyle\frac{1}{n+i}=\displaystyle\frac{1}{n(1+\frac{i}{n})} \).
Tomo la función \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x} \) y la partición del intervalo \( [0,1] \), \( P_n=(0, 1/n, 2/n, \ldots, 1) \). Tenemos que \( |P_n|\rightarrow{0} \) y \( f \) es R-integrable (es continua en \( [0,1] \)).
Utilizo la siguiente proposición: Si \( f \) es R-integrable en \( [a,b] \) y \( P_n \) es una familia de particiones del intervalo tal que \( |P_n|\rightarrow{0} \), entonces \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx= \lim S(f,P_n) \) para cualquier suma de Riemann.
La aplico directamente y tengo que \( \lim \sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{1+x}dx= ln2 \)
b) Para \( i=1, \ldots, n \) cada sumando lo puedo expresar como \( \frac{1}{n}e^{i/n} \). Cosidero la función \( f(x)=e^x \) y la partición del intervalo \( [0,1] \), \( P_n=(0, 1/n, 2/n, \ldots, 1) \). Luego \( |P_n|\rightarrow{0} \) y \( f \) es R-integrable por ser continua. Aplico el teorema anterior y tengo que
\( \lim \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})=\displaystyle\int_{0}^{1}e^x dx=e-1 \).
Por lo que \( e-1 \) sería el límite pedido.
¿Están bien?
Saludos y muchas gracias.
