[sueca]

Buenas,llevo un par de días bloqueada con un ejercicio. Les voy a poner solo la parte que no me sale. Tengo un anillo A generado por K<x,y> (K anillo arbritario) que me verifica:

\( x^3=0 \)
\( xy+y(x^2)=1 \)

Tengo que ver que es el anillo cero y he intentado mil cosas pero al final me han dicho que intente primero ver solo con la primera ecuación que \( x^2=0 \) y no lo consigo. Espero que alguien pueda ayudarme!

He tenido una idea que no se si está bien:
puesto que \( x^3=0 \), sabemos que \( (1-x)(1+x+x^2)=1-(x^3)=1 \). Y por tanto 1-x es unidad y tiene inverso. Ahora,
\( (x^2)(1-x)=(x^2)-(x^3)=x^2 \) ¿Por tanto o bien, 1-x es igual a 1 y x =0 o bien \( x^2=0 \)? Y ya estaría pero no estoy segura de que si ocurre esa ecuación 1-x tenga que ser uno porque en anillos no conmutativos el \( x^2 \) no lo puedo simplificar no?

[Carlos Ivorra]

Hola sueca.

Bienvenida al foro. Recuerda que debes escribir en \( \LaTeX \) las fórmulas matemáticas, para lo cual debes escribirlas entre [tex]  [/tex], y estas instrucciones te aparecen automáticamente pinchando el botón TeX que tienes arriba del área de escritura.

Por favor edita tu mensaje y luego multiplica por \( x^2 \) la segunda ecuación.

[sueca]

Perdón por lo del Latex no vi que era norma del foro.
Multiplicando en la segunda como me has dicho queda \( (x^2)y(x^2)=x^2 \) y obtengo que \( (x^2)y=1 \) y que por tanto x tiene inverso que es una contradicción con que sea nilpotente. Pero estamos en las mismas que lo que he dicho yo arriba....¿si el anillo es arbritario yo puedo simplificar \( x^2 \) y decir que \( (x^2)y=1 \)?

[Carlos Ivorra]

Perdón, supuse que el anillo era conmutativo (lo de que podía no ser conmutativo lo añadiste después). Ahora lo pienso.

[Carlos Ivorra]

A ver así:

Multiplico por \( x \) la segunda ecuación:

\( xyx=x \)

Ahora la multiplico por \( x \) por la izquierda:

\( x^2y+xyxx=x\Rightarrow x^2y+x^2=x\Rightarrow x^2(y+1)=x \)

Ahora multiplico por \( x \) otra vez y queda \( x^2=0 \)

Volviendo a \( x^2(y+1)=x \) obtenemos \( x=0 \), luego de la segunda ecuación \( 1=0 \).

[sueca]

Mil gracias! me esta volviendo loca probando relaciones. Voy a ver si consigo acabar la segunda parte

[sueca]

Buenas,tengo otra duda sobre este mismo tema,no se debería abrir otro hilo.
Tengo que demostrar que un anillo K<x,y> (con K arbritario) que verifica \( x^2=0 \) y \( xy+yx=1 \) es isomorfo a M(K[t]) de dimensión 2x2
Estoy buscando dos matrices 2x2 que verifiquen esas ecuaciones y generen el anillo. Las que verifican ser triangulares inferiores o superiores con ceros en la diagonal no me verifican la segunda ecuación y las que me quedan que son de la forma:

\( (a_1_1)^2=-a_1_2 a_2_1 \) y \( (a_2_2)^2=-a_2_1 a_1_2 \) que al ver si verifican la segunda ecuación me salen ecuaciones muy raras que no me llevan a nada...alguien podría ayudarme?