[Benja]

Hola, necesitaria ayuda para saber cómo hago la siguiente demostración:

Sea \( V \) un espacio euclideo, \( \left<{  ;  }\right>_1 \) y \( \left<{  ;  }\right>_2 \) dos productos internos definidos en V. Probar que la aplicación
      \( [  ;  ] : V\rightarrow{[x;y]}= \left<{x;y}\right>_1 + \left<{x;y}\right>_2 \) ,    \( \forall x,y\inV \) define también un producto interno en \( V \)

                                                       
                                                             Muchas Gracias!

[yotas]

¿Qué has intentado? Pareciera un ejercicio rutinario. Sólo debes comprobar que los axiomas que definen un producto interno, lo cumple ese producto.

[Benja]

Intenté lo siguiente, ¿Podrás corroborar si es correcto?
i) simétrica:
   \( \left<{x;y}\right>=\left<{\left<{x;y}_1\right>}+\left<{x;y}\right>_2\right>=\left<{\left<{y;x}\right>_1}+\left<{y;x}\right>_2\right>=\left<{y;x}\right> \)

ii) Bilineal
  Debo probar que: \( \left<{x+y;z}\right>=\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_1+\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_2 \)

Dem:
 \( \left<{x+y;z}\right>=\left<{\left<{x+y;z}\right>_1+\left<{x+y;z}\right>_2}\right>=\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_1+\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_2 \)

iii)  Debo probar que: \( \left<{\alphax;y}\right>=\alpha\left<{x;y}\right> \)
   
Dem:\( \left<{\alphax;y}\right>=\left<{\left<{\alpha}\left<{x;y}\right>_1\right>}+\left<{x;y}\right>_2\right>=\left<{\alpha\left<{\left<{x;y}\right>_1+\left<{x;y}\right>_2}\right>}\right>=\left<{\alpha\left<{x;y}\right>}\right>=\alpha\left<{x;y}\right> \)

Todavía malta falta hacer la definida positiva, pero queria saber si esta bien lo que estoy haciendo, porque la verdad me he perdido.

                Muchas Gracias..

[yotas]

Antes de responder, fíjate que tiene un error de notación:
Tu producto es \( \left<{x,y}\right>=\left<{x,y}\right>_1+\left<{x,y}\right>_2 \) no \( \left<{x,y}\right>=\left<{\left<{x,y}\right>_1+\left<{x,y}\right>_2}\right> \) que carece de sentido.

Mira:

Intenté lo siguiente, ¿Podrás corroborar si es correcto?
i) simétrica:
   \( \left<{x;y}\right>=\left<{\left<{x;y}_1\right>}+\left<{x;y}\right>_2\right>=\left<{\left<{y;x}\right>_1}+\left<{y;x}\right>_2\right>=\left<{y;x}\right> \)

Debes probar que:
\( \left<{x;y}\right>=\left<{x;y}_1\right>}+\left<{x;y}\right>_2\right>=\left<{\left<{y;x}\right>_1}+\left<{y;x}\right>_2=\left<{y;x}\right> \)
digamos que éste está bien. 
Sólo la tontería que los \( \left<{}\right> \) puesto de más.

Intenté lo siguiente, ¿Podrás corroborar si es correcto?
ii) Bilineal
  Debo probar que: \( \left<{x+y;z}\right>=\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_1+\left<{\left<{x;z}\right>+\left<{y;z}\right>}\right>_2 \)

No está bien, lo que debes probar es \( \left<{x+y,z}\right>=\left<{x,z}\right>+\left<{y,z}\right> \) es decir \( \left<{x+y,z}\right>=(\left<{x,z}\right>_1+\left<{x,z}\right>_2)+(\left<{y,z}\right>_1+\left<{y,z}\right>_2) \).
Para guiarte un poco mira la demostración de ésta:
\( \left<{x+y,z}\right>=\left<{x+y,z}\right>_1+\left<{x+y,z}\right>_2=\left<{x,z}\right>_1+\left<{y,z}\right>_1+\left<{x,z}\right>_2+\left<{y,z}\right>_2 \)
\( =(\left<{x,z}\right>_1+\left<{x,z}\right>_2)+(\left<{y,z}\right>_1+\left<{y,z}\right>_2)=\left<{x,z}\right>+\left<{y,z}\right> \)
¡esto sería!  (Diferencia entre paréntesis y esto: \( \left<{}\right> \)  hay de los dos).

La iii) también tiene ese mismo problema de notación.

Mira si con el ejemplo de demostración logras desenredarte un poco. Si tienes alguna otra duda en un rato reviso el foro y probablemente, te responda.  

[Benja]

Creo que me había complicado mas de lo que era. 
Necesitaba saber bien cómo aplicaba la definición de la aplicación.  Muchas gracias, ya lo pude hacer.