Hola
Debes corroborar que \( \{w_1,w_2,w_3\} \) genera a \( V \) y que además es linealmente independiente.
- Que es generador:
Sea \( v\in V \). Como \( \{v_1,v_2,v_3\} \) es base de \( V \), en particular genera a \( V \), luego existen escalares \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) tales que \( v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \). Observa que:
\( \begin{equation*}v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=\alpha_1(v_1+v_2+v_3)+(\alpha_2-\alpha_1)(v_2+v_3)+(\alpha_3-\alpha_2)v_3\end{equation*} \)
- Que es L.I.:
Tomemos una combinación lineal \( \beta_1w_1+\beta_2w_2+\beta_3w_3=\vec{0} \). Hay que probar que necesariamente \( \beta_1=\beta_2=\beta_3=0 \). Se tiene que:
\( \begin{equation*}\beta_1(v_1+v_2+v_3)+\beta_2(v_2+v_3)+\beta_3v_3=\vec{0}\quad \Leftrightarrow \quad \beta_1v_1+(\beta_1+\beta_2)v_2+(\beta_1+\beta_2+\beta_3)v_3=\vec{0}\end{equation*} \)
Como \( \{v_1,v_2,v_3\} \) es base de \( V \), es L.I. por lo tanto:
\( \\\beta_1=0
\\\beta_1+\beta_2=0
\\\beta_1+\beta_2+\beta_3=0 \)
Lo anterior implica \( \beta_1=\beta_2=\beta_3=0 \).
Saludos
P.D. En tus anteriores intervenciones en el foro no has contestado a ninguna de las sugerencias que se te han dado. El mismo usuario, el_manco, ha respondido sistemáticamente a todos los temas que has abierto y no ha obtenido ni una sola respuesta de tu parte. Confieso que en su lugar me sentiría un poco desanimado
. Incluso en uno de los ejercicios se tomó la molestia de hacer una construcción geométrica en Geogebra... (¡con el trabajo que ello implica!). No vendría mal un mensaje de agradecimiento, ¿no? Al menos, para que no se piense que ha malgastado su tiempo.
