[Pepe]

Me piden generalizar la potensia n-ésima de la siguiente matriz por inducción:

\( F=\begin{bmatrix}{cos(\theta)}&{-sin(\theta)}\\{sin(\theta)}&{cos(\theta)}\end{bmatrix} \)

y obtengo como hipótesis: \( F^n=\begin{bmatrix}{2^{n-1}cos(\theta)}&{-2^{n-1}sin(\theta)}\\{2^{n-1}sin(\theta)}&{2^{n-1}cos(\theta)}\end{bmatrix} \)

Pero cuando tiro a demostarlo por inducción no se como hacerlo. He hecho \( F^{n+1}=F^nF \), pero operando esas matrices no se como hacerlo para obtener lo que deseo. ¿Alguna idea?

Gracias

[Héctor Manuel]

Es falso. Nota que para \( n=2 \) no se cumple.

Más bien, muestra que \( F^n=\begin{bmatrix}{cos(n\theta)}&{-sin(n\theta)}\\{sin(n\theta)}&{cos(n\theta)}\end{bmatrix} \)

Saludos.

PD: La respuesta directa es clara. La matriz \( F \) rota al plano un ángulo de \( \theta \) rad, de modo que aplicar \( n \) veces a \( F \) es, por un lado \( F^n \), y por el otro es rotar al plano un ángulo de \( n\theta \) rad.