Supongamos el problema resuelto.
Los ángulos ABD y ACD están inscritos en una semicircunferencia , por lo que son rectos.
Los triángulos rectángulos ABO y DCO tienen iguales los ángulos en O por ser opuestos por el vértice, luego son semejantes: \( \displaystyle\frac{OA}{AB}=\displaystyle\frac{OD}{DC} \)
Entonces \( \displaystyle\frac{OA.OD}{AB.DC}=2 \Rightarrow{(OA/AB}^2=2 \) (1)
En el triángulo rectánguloOAB: \( OA^2=AB^2+OB^2 \)
Teniendo en cuenta (1) resulta
\( 2AB^2=AB^2+OB^2\Rightarrow{AB^2=OB^2}\Rightarrow{AB=OB} \)
Entonces el triángulo rectángulo OAB es isósceles y sus ángulos agudos valdrán 45º, así como los del triángulo DCO, semejante al anterior. Por tanto, el ángulo AOD vale 135º.
La construcción será la siguientes: se construye el arco capaz de 135º sobre el segmento AB.
La paralela a AD trazada a la distancia h, corta a aquel arco en el punto O; finalmente las rectas AO y DO cortan a la circunferencia en los puntos C y B, que son los vértices del cuadrilátero pedido.
El número de soluciones depende del número de puntos de corte de la paralela a AD con el arco.
