Saludos a todos y Gracias de antemano, en el siguiente problema estube buscando las soluciones de la varianza y el valor esperados y encontre el del valor esperados de \( L \), pero no he podido encontrar el de la varianza de \( L \).
Alguien podria guiarme para encontrar la solución, les dejo lo que hice para encontrar el valor esperados de \( L \).
Problema.
El tiempo improductivo por semana \( Y \) (en horas) de una máquina industrial tiene aproximadamente una distribución gamma con \( \alpha=3 \) y \( \beta=2 \). La perdida \( L \)(en dólares) para la operación industrial como resultado de este tiempo improductivo está dada por \( L=30 Y+2Y^2 \). Encuentre la varianza y el valor esperados de \( L \).
Solución
\( f(y)=\displaystyle\frac{y^\left<{\alpha-1}\right> e^\left<{\displaystyle\frac{-y}{\beta}}\right>}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} \) , función gamma
\( E(Y)=\alpha\beta \)
\( =(3)(2)=6 \)
\( E[Y^2]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}y^2\left<{\displaystyle\frac{y^\left<{3-1}\right> e^\left<{\displaystyle\frac{-y}{2}}\right>}{2^3\Gamma\left<{3}\right>}}\right>dy \)
\( =\displaystyle\int_{0}^{\infty}y^2\left<{\displaystyle\frac{y^2 e^\left<{\displaystyle\frac{-y}{2}}\right>}{16}}\right>dy \)
\( =\displaystyle\frac{1}{16}\displaystyle\int_{0}^{\infty}y^4 e^\left<{\displaystyle\frac{-y}{2}}\right> \)
\( =48 \)
Ahora de \( L=30 Y+2Y^2 \)
\( E[L]=E[30Y+2Y^2] \)
\( =30E[Y]+2E[Y^2] \)
\( =30[6]+2[48] \)
\( E[L]=180+96=276 \) dolares
\( V[L]= \)
