Hola a todos:
El ejercicio me dice:
Considera una partición P del intervalo \( [a, b] \) y supón que P' es otra partición más fina que tiene sólo un punto más que P. Prueba que \( m(f, P) \leq m(f, P') \leq M(f, P') \leq M(f, P) \).
Tenemos que \( P' \succ P \). Sea \( P = (x_0, x_1, ..., x_{n-1}, x_n) \). Supongamos \( \alpha \) un punto tal que \( P' = (x_0, \alpha, x_1, ..., x_{n-1}, x_n) \).
Vemos que
\( m(f, P) = m_1(x_1 - x_0) + m_2 (x_2 - x_1) +.... \)
\( m(f, P') = m_1'(\alpha - x_0) + m_2' (x_1 - \alpha) + m_2 ( x_2 - x_1) + .... \)
Tengo que ver que \( m (f,P) \leq m(f, P') \), que lo traduzco a estudiar que \( m_1(x_1 - x_0) \leq m_1'(\alpha - x_0) + m_2'(x_1 - \alpha) \) que se cumple al tener en el lado derecho de la desigualdad más sumandos (si desarrollamos), ¿no?
¿Para las sumas superiores sería similar?
¿Así bastaría el ejercicio?
Gracias y saludos.
