[josevc]

Tengo la siguiente función:

A: Enteros no negativos que dan resto 6 al dividirlos entre 19.

B: Enteros

f:A->B tal que \( f(x)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{(6-a)}{38} & \mbox{ si }& a- es- par\\\displaystyle\frac{(a+13)}{38} & \mbox{si}& a- es -impar\end{matrix} \)


Calcular la inversa es sencillo, pero antes de calcularla debo de ver como es "b", ya de antemano se por ejemplo que cuando a es impar, b es >0. Pero debo de demostrarlo 


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Como partiendo de que a es impar, no consigo llegar a nada :S he intentado hacerlo al revés:

b>0 <=> b>= 1 <=> b=1+q ; q perteneciente a Z (sub 0)(+)
                        <=> f(a) = f(1+q)
                        <=> a= ((1+q)+13)/38
                        <=> a=(q+14)/38
                          ...

Si llego a que a es impar, realmente solo tendría que darle la vuelta para ajustarlo al ejercicio, pero como puedo llegar a eso... 

Haber si alguien sabe 

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo tu problema. Tienes:

\(  A=\{6+19k|k\geq 0,\, k\in Z\} \)

 defines:

\(  f:A\longrightarrow{}Z  \)

\( f(a)=\begin{Bmatrix} \dfrac{6-a}{38} & \mbox{ si }& a\mbox { par}\\\dfrac{a+13}{38} & \mbox{si}& a\mbox { impar }\end{matrix} \)

 Equivalentemente:

\( f(6+19k)=\begin{Bmatrix} \dfrac{-k}{2} & \mbox{ si }& k\mbox { par}\\\dfrac{k+1}{2} & \mbox{si}& k\mbox { impar }\end{matrix} \)

 Por tanto la inversa es:

 \( f^{-1}(b)=\begin{Bmatrix} -38b+6 & \mbox{ si }& b\leq 0\\ 19(2b-1)+6 & \mbox{si}& b>0\end{matrix} \)

Saludos.

P.D. Por favor usa LaTeX para escribir las fórmulas.

[josevc]

Ante todo, muchas gracias por tu respuesta!

Dejo un ejemplo:

Spoiler

A: Conjunto de los enteros
B: Conjunto de los enteros no negativos que den resto 1 al dividirlo entre 19.

f:A->B

Dada una función que es invertible, y sea:

\( f(x)=\begin{Bmatrix} 38a-37 & \mbox{ si }& a>0\\-38a+20 & \mbox{si}& a\leq{0}\end{matrix} \)

1.) Hallar inversa mediante definición.


Lo primero vemos como es "b".

a>0 <=> a \( \geq{1} \) <=> a=1+q ; q \( \in{Z(sub0)(+)} \)
         
                                           <=> f(a) = f(1+q)  {Ya que sabemos que es función}
             
                                           <=> b = 38(1+q)  - 37
 
                                           <=> b=38 + 38q - 37
   
                                           <=> b= 38q + 1
 
                                           <=> b= 2(19q)+1
 
                                           <=>  b es impar       


a\( \leq{0}  \) <=>  0 = a+q ;  q \( \in{Z(sub0)(+)} \)

                                      <=> a=-q
 
                                      <=> f(a) = f(-q)
 
                                      <=> b=-38(-q) + 20
 
                                      <=> b=38q + 20

                                      <=> b=2(19q+10)

                                      <=> b es par          
                                           

- b es par, como f es sobreyectiva podremos encontrar a en A siendo a\( \leq{0} \) tal que f(a) = b

  f(a)=b <=> -38a+20=b
   
            <=> a= \( \displaystyle\frac{20-b}{38} \)

            <=> \( f^{-1} \)(b)= \( \displaystyle\frac{20-b}{38} \)


- b es impar, como f es sobreyectiva podremos encontrar a en A siendo a>0 tal que f(a)=b

  f(a)=b <=> 38a-37 = b

            <=> a= \( \displaystyle\frac{b+37}{38} \)

            <=> \( f^{-1} \)(b)= \( \displaystyle\frac{b+37}{38} \)

[cerrar]

El ejercicio que expuse en mi primer comentario es casi idéntico, pero aun así no me sale  Esque lo que acabo de poner en el ejemplo, de partir de a, para llegar a b me resulta bastante complicado, no se me ocurre como plantearlo (esa es la duda, luego sacar la inversa ya es sencillo)