[Nico1]

Hola a todos, Estoy sin saber cómo hacer un ejercicio y quería que me den una mano. El ejercicio dice así:

\(  \textsf{Sea } n \in{N} \textsf{ y } g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \textsf{ tal que } g(x) = [nx]   \)
\( \textsf{Donde }[nx]\textsf{ es la parte entera de "nx"} \)

\( \textsf{a) Hallar una particion } P[0.1]\textsf{, si existe de modo tal que }g(x)\textsf{ resulte escalonada. (Justifique su respuesta)} \)

\( \textsf{b) Calcular : }\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)dx \)

Gracias anticipadas!

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa que:

 \( [y]=k \) con \( k \) entero si \( k\leq y<k+1 \)

 Entonces:

 \( [nx]=k \) si \( k\leq nx<k+1 \) equivalentemente si \( \dfrac{k}{n}\leq x<\dfrac{k+1}{n} \)

 Por tanto si consideras la paritición:

 \( A_k=\left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right) \) con \( k=0,1,2,\ldots,n-1 \)

 \( A_n=\{1\} \)

 Se tiene que:

 \( g(x)=k \) si \( x\in A_k \)

 Continúa...

Saludos.

[Nico1]

Muchisimas gracias por la pronta respuesta!

Disculpas si soy medio duro, pero aún tengo algunas dudas. El procedimiento que tu realizaste lo entiendo. Pero no me queda claro como debería ser la respuesta. Para ser más preciso, no comprendo si la respuesta de la partición (dejemos la integral de lado por un momento) queda expresada en terminos de "k" o si puedo dar la respuesta explicitamente. ¿No es que para una función escalonada existen infinidad de particiones asociadas?

En fin, Creo que estoy algún problema de concepto. De todas maneras no me canso de agradecer sus respuestas son impecables.

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpas si soy medio duro, pero aún tengo algunas dudas. El procedimiento que tu realizaste lo entiendo. Pero no me queda claro como debería ser la respuesta. Para ser más preciso, no comprendo si la respuesta de la partición (dejemos la integral de lado por un momento) queda expresada en terminos de "k" o si puedo dar la respuesta explicitamente. ¿No es que para una función escalonada existen infinidad de particiones asociadas?

Pero fíjate que para cada \( n \) (que es un dato fijo del problema) damos una partición. Por ejemplo para \( n=3 \) tendríamos la partición:

\( A_0=\left[0,\dfrac{1}{3}\right),\quad A_1=\left[\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right),\quad A_2=\left[\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{3}\right),\quad A_3=\{1\}. \)

Saludos.