En general,si \( V \) es un espacio vectorial sobre un cuerpo \( K \),y \( B \) es una base de \( V \) sobre \( K \) (se puede probar que todo espacio vectorial admite una base),se tiene que \( V\cong K^{(I)} \),donde \( I \) es un conjunto de índices tal que \( |I|=|B| \) (el isomorfismo es tomar coordenadas en la base \( B \)).
En nuestro caso,tenemos \( \mathbb{R}\cong \mathbb{Q}^{(I)} \),donde \( |I| \) es el cardinal de cualquier base de \( \mathbb{R} \) sobre \( \mathbb{Q} \).Como \( |\mathbb{R}|=c \),\( |\mathbb{Q}|=\aleph_{0} \) y \( \aleph_{0}^{n}=\aleph_{0}\;\forall n \),deducimos que \( I \) es infinito,es decir,la dimensión es infinita.
