[llorsi]

2 matrices A y B son semejantes si existe una matriz P tal que \(  B=P^{-1}.A.P  \)
Una condición necesaria, pero NO suficiente es que det(A)=det(B).
Pero, 2 preguntas:
1) Si det(A)=det(B)=0, ¿puede existir P?
2) Si \(  det(A)=det(B)\neq{0}  \), ¿siempre existe P?

[numbsoul]

Uno podría usar el resultado de que dos matrices semejantes (mas aun,equivalentes) tienen el mismo rango,y con eso se ve fácil que no necesariamente existe tal \( P \),tanto en el primer,como en el segundo ítem.

[feriva]

1) Si det(A)=det(B)=0, ¿puede existir P?

Sí; pero lo que ocurre en ese caso es que "B" no es diagonalizable, no existen tantos autovectores linealmente independientes como indica la dimensión nXn de la matriz (a veces hay que recurrir al método para hallar la forma de Jordan de A, la cual será puede ser "casi diagonal", pero eso todavía no lo has estudiado, seguramente).


Lo tachado no es cierto en general, me he despistado

 Saludos.

[Iziro]

1) PARA EL PRIMER PUNTO NO SIEMPRE EXISTE P invertible el hecho de q detA=detB=0 solo te dice q no son invertibles
 y ademas A,B pueden tener rangos distinitos y dos matrices semejantes tienen igual rango.
2) este tampoco es cierto ejemplo, tomate la matriz identidad I y -I ambas tienen el mismo determinante (distinto de cero)pero tienen diferente traza, por tanto no pueden ser semejantes (DOS MATRICES SEMEJANTES TIENE MISMA TRAZA)
espero y t sirva saludos
nota:a lomejor hay casos en q existe P, no siempre

[feriva]

1) PARA EL PRIMER PUNTO NO SIEMPRE EXISTE P invertible el hecho de q detA=detB=0 solo te dice q no son invertibles
 y ademas A,B pueden tener rangos distinitos y dos matrices semejantes tienen igual rango.
2) este tampoco es cierto ejemplo, tomate la matriz identidad I y -I ambas tienen el mismo determinante (distinto de cero)pero tienen diferente traza, por tanto no pueden ser semejantes (DOS MATRICES SEMEJANTES TIENE MISMA TRAZA)
espero y t sirva saludos
nota:a lomejor hay casos en q existe P, no siempre

Eso ya lo ha dicho numsoul, ya está contestado y no he negado lo que ha dicho, pero se le olvidó especificar el primer caso, donde llorsi no pregunta si existe siempre, sino simplemente si puede existir P; que evidentemente puede existir, basta pensar en una matriz diagonalizable que tenga un autovalor 0; su determinante será cero.