[chocola]

Hola a todos,

Hace varios días que esto intentando resolver un sistema de ecuaciones en el cuerpo de los complejos, y no hay manera y encima mañana tengo el examen de álgebra, podrían por favor echarme una mano y explicarme el proceso?

\( 1 + i x_2 - x_3 + x_4=0 \)
\( x_1 - i x_2 + x_3 = 1 \)
\( x_1 -  x_2 + x_4 = 0 \)


Muchas gracias y saludos.

[mathtruco]

Hola chocola,

 el sistema de ecuaciones es equivalente a \( A\vec{x}=\vec{b} \), donde

\( A=\begin{bmatrix}{0}&{i}&-1&1\\{1}&{-i}&1&0\\ 1&-1&0&1\end{bmatrix} \), \( \vec{x}=\left[{\begin{array}{ccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{array}\right] \)  y  \( \vec{b}=\left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] \).

\( [A|\vec{b}]=\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 1&-i&1&0&1\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_2\leftarrow f_2-f_3}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 0&1-i&1&-1&1\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_2\leftarrow f_2+f_1}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 0&1&0&0&0\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_3\leftarrow f_3+f_2}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&0&-1&1&-1\\ 0&1&0&0&0\\ 1&0&0&1&0\end{array}\right] \)

de donde \( x_1+x_4=0,\quad x_2=0,\quad -x_3+x_4=-1 \).  Eligiendo \( t=x_4 \) como parámetro llegamos a que \( (-t,0,t+1,t) \) es solución del sistema para todo \( t\in\mathbb{C} \) (nota donde pertenece \( t \)).

[chocola]

Primero muchas gracias por responder, si no es mucho pedir podrías por favor explicar lo que has hecho?
Yo creo que
\( A=\begin{bmatrix}{1}&{i}&-1&1\\{1}&{-i}&1&0\\ 1&-1&0&1\end{bmatrix} \)

Seguramente es como tu dices pero me lo podrías explicar por favor? siento las molestias y gracias por la ayuda.

Hola chocola,

 el sistema de ecuaciones es equivalente a \( A\vec{x}=\vec{b} \), donde

\( A=\begin{bmatrix}{0}&{i}&-1&1\\{1}&{-i}&1&0\\ 1&-1&0&1\end{bmatrix} \), \( \vec{x}=\left[{\begin{array}{ccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{array}\right] \)  y  \( \vec{b}=\left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] \).

\( [A|\vec{b}]=\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 1&-i&1&0&1\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_2\leftarrow f_2-f_3}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 0&1-i&1&-1&1\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_2\leftarrow f_2+f_1}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&i&-1&1&-1\\ 0&1&0&0&0\\ 1&-1&0&1&0\end{array}\right] \)

\( \stackrel{f_3\leftarrow f_3+f_2}{\sim}\left[\begin{array}{cccc|c}0&0&-1&1&-1\\ 0&1&0&0&0\\ 1&0&0&1&0\end{array}\right] \)

de donde \( x_1+x_4=0,\quad x_2=0,\quad -x_3+x_4=-1 \).  Eligiendo \( t=x_4 \) como parámetro llegamos a que \( (-t,0,t+1,t) \) es solución del sistema para todo \( t\in\mathbb{C} \) (nota donde pertenece \( t \)).

[mathtruco]

Sobre la notación, por ejemplo, \( f_2\leftarrow f_2+f_3 \) significa que a la fila dos la reescribes con el resultado de sumar la fila 2 con la fila 3.

¿Qué parte no entiendes?  ¿la matriz ampliada?  (es lo mismo que sumar o multiplicar por un escalar las ecuaciones del sistema).