[Tortuga]

Consejos para la demostración \displaystyle\sum_{i=0}^n{ 1/(2i+1) } = H2n+1 - Hn/2
Es un ejercicio del libro de Grimaldi (capítulo 4 ejercicio 14). Espero se pueda entender. 

[filomates]

Hola
Te faltó poner al principio de los caracteres LaTeX  el símbolo  [tex] 

[filomates]

Y al final de los caracteres LaTeX hay que poner [/tex]
Entonces se leería \(   \displaystyle\sum_{i=0}^n{ 1/(2i+1) } = H2n+1 - Hn/2  \)
Eso es lo que has escrito

[argentinator]

No sé qué es esa "H", y está todo mal escrito.

Pero lo que dice ahí es cierto. Estoy totalmente de acuerdo.

[filomates]

Hola Tortuga, a ver si puedes escribir el enunciado completo del problema

[argentinator]

Si H(n) designa la serie armónica truncada hasta el término n,
entonces H(n) = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.

En particular, reemplazando por 2n+1 queda:

H(2n+1)  = 1/1 + 1/2 + ... + 1/(2n+1).

Separando en términos pares e impares:

H(2n+1) = [1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n+1)] + [1/2 + 1/4 + ... + 1/2n].

El último corchete es igual a [1/1 + 1/2 + ... + 1/n] / 2.
Pero eso es igual a H(n) / 2.

Por lo tanto:

H(2n+1) = [1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n+1)] + H(n) / 2.

Despejando:

[1/1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n+1)] = H(2n+1) - H(n) / 2.

El corchete del lado izquierdo es la forma desarrollada de la sumatoria que enunció Tortuga.

O sea que la igualdad está demostrada.

Faltaría saber si la prueba se supone que hay que hacerla por otro método,
por ejemplo por inducción en n.

Faltan más detalles al problema.
Pero creo que las ideas que he expuesto pueden, por lo menos, servir para aclarar por qué es cierto.