[lyayana]

Buenas noches
Quisiera saber si me pueden colaborar con la siguiente demostración,

Sea \( A\subset{X} \)  con la propiedad: Existe \( \epsilon>0 \) tal que \( d(x,y)>\epsilon \) para todo \( x,y\in{A} \) con \( x\neq{y} \).
Probar que \( A^,=\emptyset \)

Gracias de antemano.

[numbsoul]

¿De qué definición de punto de acumulación has de partir?

[lyayana]

Con referencia al ejercicio anterior tengo la siguiente demostración:

Demostración
Dado \( a\in{X} \), \( B(a,\epsilon/2) \), contiene a lo más un punto de A, en efecto si \( x,y\in{B(a,\epsilon/2)} \) con \( x\neq{y} \), luego
\( \epsilon<d(x,y)\leq{d(x,a)+d(a,y)}\leq{\epsilon/2+\epsilon/2}=\epsilon \),
lo cual es absurdo. Asi \( a\not\in{A^,}. \)

La escritura de esta demostración ¿está bien?.

Gracias

[numbsoul]

Sí,está perfecto.

Saludos.

[lyayana]

Gracias por tu apreciación.