[carop]

Hola, necesito un empujoncito para pensar este ejercicio:
Sean \( \mathbb{S}=[(2,3,0),(0,2,3)],\quad  \mathbb{T}=[(3,0,2)] \quad \tetxt{y} \quad T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3 \) la transformación lineal que satisface:

\( T(2,3,0)=(1,0,0),\quad T (0,2,3)=(0,1,0),\quad T(3,0,2) = (0,0,0) \)

Halle la expresión de T.

Gracias!

[HernanV]

Se refiere a que halles la expresión en base canónica.

[carop]

Perfecto, había hecho eso pero me había equivocado en un signo y pensé que estaba todo mal.
Saludos!

[carop]

Hallé la transformación que es: \( \displaystyle T(x,y,z)=\Big(\frac{4}{35}x+\frac{9}{35}y-\frac{6}{35}z,\;-\frac{6}{35}x+\frac{4}{35}y+\frac{9}{35}z,\;0\Big) \)

Pero ahora no sé cómo contestar esta pregunta:

Sea \( f:\mathbb{S}\longrightarrow\mathbb{R}^3 \) dada por \( f(x,y,z)=T(x,y,z) \), ¿es f monomorfismo?

[pierrot]

Hallé la transformación que es: \( \displaystyle T(x,y,z)=\Big(\frac{4}{35}x+\frac{9}{35}y-\frac{6}{35}z,\;-\frac{6}{35}x+\frac{4}{35}y+\frac{9}{35}z,\;0\Big) \)

Correcto.

Pero ahora no sé cómo contestar esta pregunta:

Sea \( f:\mathbb{S}\longrightarrow\mathbb{R}^3 \) dada por \( f(x,y,z)=T(x,y,z) \), ¿es f monomorfismo?

Observa que \( f \), por ser transformación lineal, verifica el teorema de la dimensiones.

\( \dim(\mathbb{S})=\dim(\ker f)+\dim(\text{Im} f) \)

Se tiene que \( \text{Im} f=[f(2,3,0),f(0,2,3)]=[(1,0,0),(0,1,0)] \) pero como \( \{(1,0,0),(0,1,0)\} \) es L.I., es base de \( \text{Im} f \) con lo cual dicho subespacio tiene dimensión dos. Como \( \dim(\mathbb{S})=2 \) no cabe otra posibilidad que \( \dim(\ker f)=0 \), o sea, \( \ker f=\{\vec{0}\} \) lo que prueba que \( f \) es inyectiva.

Otra forma:

Como \( f\equiv T|_{\mathbb{S}} \) es inmediato que \( \ker f=\ker T\cap \mathbb{S} \). Hallemos entonces el núcleo de \( T \). Te dará que es \( [(3,0,2)] \). Se tiene que \( \ker T\cap \mathbb{S}=\{\vec{0}\} \) (basta verificar que \( (3,0,2) \) no puede escribirse como combinación lineal de \( (2,3,0) \) y \( (0,2,3) \)) luego \( \ker f=\{\vec{0}\} \).

[carop]

Clarísimo, mil gracias!