Hola, carop.Pues muy fácil, mira:
La matriz es
\( \left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & -1\\
0 & 4 & 0\\
-1 & 0 & -1\end{array}\right) \)
Observamos que dos filas son iguales y que la otra es "cero, algo, cero", por lo que el subespacio que necesitas para encontrar el vector de la recta es el compuesto, por ejemplo, por los vectores
(1,0,1) (0,1,0)
de tal manera que, al multiplicarlos por la matriz obtienes rango 2; y siendo 3 la dimensión del espacio (porque es tres, tienes tres coordenadas en los vectores, aunque el rango de la matriz que te dan es 2) el subespacio es una recta; puesto que la dimensión del espacio menos el rango de la imagen es igual a uno: 3-2=1
Que el transformado tenga que tener dimensión 1, como dices, para que sea una recta, no se refiere a que la transformación te dé sólo un vector LI, al contrario, en este caso, en tres dimensiones, te tiene que dar 2 vectores LI. Piensa en esto: las ecuaciones cartesianas de una recta en tres dimensiones son dos ecuaciones independientes, y, en cambio, la ecuación del plano en tres dimensiones es sólo una ecuación; y, si son dos, es porque son la misma, porque son dependientes.
Ahora bien, lo que pasa es que en paramétricas, que es como lo verás mejor, la ecuación del plano tiene dos parámetros, aunque sea sólo una, que pueden tomar valores para dar lugar a dos vectores LI, en cambio, las dos ecuaciones de la recta en erre tres sólo llevan un parámetro, por lo que sólo va un vector LI asociado a ellas.
Saludos.
