[carop]

Hola, necesitaría ayuda con este ejercicio:

Sea \( T:\mathbb{R}^3\longrightarrow{}\mathbb{R}^3 \) la transformación lineal dada por:

\( T(x,y,z)=(2x,3y,4z)  \)

averigüe en qué cuádrica transforma T a la esfera unitaria.

Gracias!

[pierrot]

Piénsalo como un cambio de variable. Llama \( (x',y',z')=(2x,3y,4z)\quad \Rightarrow \quad (x,y,z)=\Big(\dfrac{x'}{2},\dfrac{y'}{3},\dfrac{z'}{4}\Big) \).

La ecuación \( x^2+y^2+z^2=1 \) se transforma en \( \Big(\dfrac{x'}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{y'}{3}\Big)^2+\Big(\dfrac{z'}{4}\Big)^2=1 \).

[Fernando Revilla]

Si \( (x,y,z) \) es un punto de la esfera unidad, entonces \( x^2+y^2+z^2=1 \). Su transformado es \( (u,v,w)=T(x,y,z)=(2x,3y,4z) \), por tanto \( \left(\displaystyle\frac{u}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{v}{3}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{w}{4}\right)^2=1 \). Obtenemos un elipsoide.

P.D. Lo siento, ya tenía redactado el mensaje, cuando publicó pabloN. Lo dejo por si también puede ayudar.

[carop]

Perfecto, así está claro, gracias a los dos. Yo me había metido con las coordenadas esféricas porque estaba como sugerencia del problema y me quedaba:
\( T (sen  \varphi cos \theta , sen \varphi sen\theta , cos \varphi) = (2 sen  \varphi cos \theta, 3 sen \varphi sen\theta, 4 cos \varphi)  \) y ya no sabía como seguir.

[Fernando Revilla]

Perfecto, así está claro, gracias a los dos. Yo me había metido con las coordenadas esféricas porque estaba como sugerencia del problema y me quedaba:
\( T (sen  \varphi cos \theta , sen \varphi sen\theta , cos \varphi) = (2 sen  \varphi cos \theta, 3 sen \varphi sen\theta, 4 cos \varphi)  \) y ya no sabía como seguir.

Si hallas el cuadrado la primera componente dividida entre \( 2^2 \), más el cuadrado la segunda componente dividida entre \( 3^2 \), más el cuadrado la tercera componente dividida entre \( 4^2 \) te dará \( 1 \).

[pierrot]

Perfecto, así está claro, gracias a los dos. Yo me había metido con las coordenadas esféricas porque estaba como sugerencia del problema y me quedaba:
\( T (sen  \varphi cos \theta , sen \varphi sen\theta , cos \varphi) = (2 sen  \varphi cos \theta, 3 sen \varphi sen\theta, 4 cos \varphi)  \) y ya no sabía como seguir.

Justo estaba por aclarar eso cuando publicaste tu mensaje. En efecto, otra manera de abordar el problema es:

• Parametrizar la esfera unidad unidad mediante \( \varphi(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big) \) con \( \big(x(u,v)\big)^2+\big(y(u,v)\big)^2+\big(z(u,v)\big)^2=1 \).
  
  
• Se tiene que \( T\big(\varphi(u,v)\big) \) es una parametrización de la cuádrica que resulta de transformar a la esfera unidad.
  
  
• Eliminando los parámetros, determinamos la ecuación implícita de dicha cuádrica.
  
  

Entonces lo más fácil es usar coordenadas esféricas, es decir, elegir \( \varphi(u,v)=\big(\cos(u)\sen(v),\;\sen(u)\sen(v),\;\cos(v)\big) \) con \( 0\leq u\leq 2\pi \) y \( 0\leq v\leq \pi \).

Hallamos \( T\big(\varphi(u,v)\big)=\big(2\cos(u)\sen(v),\;3\sen(u)\sen(v),\; 4\cos(v)\big) \) cuya ecuación implícita es:

\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{16}=1 \)

(Basta verificar que \( \dfrac{\big(2\cos(u)\sen(v)\big)^2}{4}+\dfrac{\big(3\sen(u)\sen(v)\big)^2}{9}+\dfrac{\big(4\cos(v)\big)^2}{16}=1 \))

Saludos

P.D. Lo siento, ya tenía redactado el mensaje, cuando publicó Fernando Revilla. Lo dejo por si también puede ayudar.

 

[Fernando Revilla]

P.D. Lo siento, ya tenía redactado el mensaje, cuando publicó Fernando Revilla. Lo dejo por si también puede ayudar.

 

Existe un equilibrio dinámico.