[lyayana]

1. Probar que la función \( f(x)=\sen(1/x) \) con \( x>0 \) no es uniformemente continua en \( ]0,\infty[ \).

2. Sea \( a>0 \) fijo. Demostrar que la función \( f(x)=\sqrt{x} \) es uniformemente continua en \( [a,\infty[ \).

[lyayana]

1. Probar que la función \( f(x)=\sen(1/x) \) con \( x>0 \) no es uniformemente continua en \( ]0,\infty[ \).

2. Sea \( a>0 \) fijo. Demostrar que la función \( f(x)=\sqrt{x} \) es uniformemente continua en \( [a,\infty[ \).

Para el segundo punto me dan esta sugerencia: \( $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$ \).

[Fernando Revilla]

1. Probar que la función \( f(x)=\sen(1/x) \) con \( x>0 \) no es uniformemente continua en \( ]0,\infty[ \).

Tenemos que demostrar que

\( \exists \epsilon>0,\forall\delta>0,\exists x,y,\text{ tal que } |x-y|<\delta\text{ y }|f(x)-f(y)|\geq\epsilon. \)

Elijamos \( \epsilon=2 \) y \( \delta>0 \) arbitrario, pero fijo. Necesitamos demostrar que existen \( x \) e \( y \) con \( |x-y|<\delta \) y \( |f(x)-f(y)|\geq 2 \). Esto último se puede conseguir con \( f(x)=-1 \) y \( f(y)=1 \). Ahora, usa conocidos resultados de la función seno para analizar para qué \( x \) e \( y \) se verifica \( \sen(1/x)=-1 \) y \( \sen(1/y)=1 \) (podemos elegir \( x \) e \( y \) arbitrariamente cercanos a \( 0 \)).

[pierrot]

Para el segundo punto puedes verificar que la derivada está acotada en \( [a,\infty[ \).

[lyayana]

Me parece interesante tu sugerencia, voy hacerla por ese lado ya que me habían dado una sugerencia de utilizar la sucesión \( $x_n=\dfrac{2}{(2n+1)*\pi}$ \) y me dijeron que demostrara que era de Cauchy y luego utilizara teoremas de continuidad, pero la verdad no supe cómo hacerlo. Si me pueden ayudar por esta forma se los agradecería.

[Fernando Revilla]

Para el segundo, también puedes usar la desigualdad \( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|} \) para todo \( x,y\geq 0 \). Entonces, para \( \epsilon>0 \) elige \( \delta=\epsilon^2 \).

[lyayana]

2. Sea \( a>0 \) fijo. Demostrar que la función \( f(x)=\sqrt{x} \) es uniformemente continua en \( [a,\infty[ \).

Demostración:

Dado \( \epsilon>0 \) debemos encontrar un \( \delta>0 \) tal que si \( \vert x-y \vert<\delta$ \) entonces \( \vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon \), \( x,y\in [a,\infty[ \). De este manera se tiene que \( \vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert\leq \sqrt{\vert x-y \vert} \) para todos \( x,y\in [a,\infty[ \). Tomando \( \delta=\epsilon^2 \) tenemos que \( \vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert\leq \sqrt{\vert x-y \vert}<\sqrt{\delta}=\epsilon \) luego \( \sqrt{x} \) es uniformemente continua.

[lyayana]

como garantizo esa desigualdad mejor dicho como demuestro eso lo estuve intentando pero no logre nada

[pierrot]

Para el segundo, también puedes usar la desigualdad \( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|} \) para todo \( x,y\geq 0 \).

Si \( x=y \), es inmediato (porque queda \( 0\leq 0 \)).

Para el caso \( x\neq y \) se tiene que \( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\neq 0 \). Ahora nota que como son dos números no negativos, probar esa desigualdad equivale a probar que \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\leq |x-y| \). Observa que \( x-y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \) luego \( |x-y|=|\sqrt{x}+\sqrt{y}||\sqrt{x}-\sqrt{y}| \). En consecuencia, hay que demostrar:

\( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=|\sqrt{x}-\sqrt{y}||\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq |\sqrt{x}+\sqrt{y}||\sqrt{x}-\sqrt{y}| \)

Como \( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|> 0 \), podemos simplificar. Continúa.

[lyayana]

O sea \( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq |\sqrt{x}+\sqrt{y}| \) pero por desigualdad triangular tengo que:

\( |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq |\sqrt{x}+\sqrt{y}|\leq |\sqrt{x}|+|\sqrt{y}| \)