Hola, tengo unas consultas para hacer sobre el siguiente ejercicio:
De la transformación lineal \( T:\mathbb{R}^3\longrightarrow{}\mathbb{R}^3 \) se sabe que:
\( \\ T(0,0,-1)=(0,0,2)\\T(1,0,0)=(3,0,0)\\T(1,-1,1)=(-3,3,-3) \)
a) halle los autovalores y espacios de autovectores de T.
b) sin calcular la expresión de T encuentre su matriz asociada.
c) ¿es posible hallar un subespacio \( \mathbb{S} \) tal que \( \dim(\mathbb{S})=2 \) y \( \dim\big(T(\mathbb{S})\big)=1 \)?
Bueno, para el inciso b) lo que hice fue lo siguiente:
\( T(1,0,0)=(3,0,0) \)
\( T(0,0,-1)=T\big(-(0,0,1)\big)=-T(0,0,1)=(0,0,2)\quad \Rightarrow \quad T(0,0,1)=(0,0,-2) \)
\( \begin{align*}T(1,-1,1)&=T\big((1,0,0)-(0,1,0)+(0,0,1)\big)\\&=T(1,0,0)-T(0,1,0)+T(0,0,1)=(-3,3,-3)\\&\Rightarrow (3,0,0)+(0,0,-2)-(-3,3,-3)=T(0,1,0)\\&\Rightarrow T(0,1,0)=(6,-3,1)\end{align*} \)
entonces, \( M_T \) sería:
\( \begin{bmatrix}3 & 6 & 0\\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix} \)
¿Está bien esto? ¿Tengo que hacerlo así con las bases canónicas?
Para el inciso a) no sé cómo calcular los autovalores y autovectores sin la matriz asociada (ya que por algo piden calcular \( M_T \) en el inciso b) después de haberlos hallado, supongo).
Lo que yo deduje fue que si se debe cumplir que \( T(u)=\lambda u \), entonces para cada uno de los tres vectores planteo un sistema y averiguo los tres autovalores.
Lo que hice fue:
Si \( T(u)=\lambda u \), entonces:
\( \\(0,0,2)=\lambda (0,0,-1) \Longrightarrow \lambda= -2 \mbox{ con autovector }(0,0,-1)\\
(3,0,0)=\lambda (1,0,0) \Longrightarrow \lambda= 3 \mbox{ con autovector }(1,0,0)\\
(-3,3,-3)=\lambda (1,-1,1) \Longrightarrow \lambda= -3 \mbox{ con autovector }(1,-1,1) \)
Y el inciso c) me vendría bien una explicación de cómo pensarlo.
¡Muchas gracias!
