[carop]

¡Hola!
Quería saber si alguien me puede explicar cómo se hace este tipo de problemas, ya que sé hallar la matriz asociada a la transformación pero no al revés.

Sea \(  T: \mathbb{R}^4 \longrightarrow{\mathbb{R}^4}  \) la transformación lineal cuya matriz asociada es

\(  M_T= \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)

Halle su expresión.

¡Muchas gracias!

[HernanV]

Al no dar otra indicación, se interpreta que la matriz está referida a la base canónica. Dicha matriz, se forma poniendo como columnas a los transformados de la base canónica.

Para hallar la TL, basta interpretar lo que dije antes.

[filomates]

Hola.
El procedimiento que se me ocurre es hallar los transformados de los elementos de la base canónica.
Por ejemplo el transformado de \(  e_1 = (1,0,0,0)  \) es el resultado de multiplicar la matriz que te dan por el vector columna

\(  \left[{\begin{array}{cccc}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right]  \)

obteniendo
\(   \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix} \cdot  \left[{\begin{array}{cccc}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right] = \left[{\begin{array}{cccc}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right]      \)

Y se hace lo mismo con los demás vectores de la base canónica
(En este caso el transformado de \(  e_1  \) es él mismo, pero para los demás no ocurre eso)

Una vez halladas las imágenes de los \(  e_i  \)  usamos que si \(  f(e_i) = e'_i  \) entonces \(  f(x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = f(x_1  e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 ) = x_1 f(e_1) + x_2  f(e_2) +x_3 f(e_3) + x_4 f (e_4 ) =x_1 e'_1 +x_2 e'_2 +x_3 e'_3 + x_4  e' _4   \)  lo cual nos lleva a que las coordenadas de la imagen de \(  (x_1 , x_2 , x_3 , x_4 )  \) vienen dadas por
\(  \left[{\begin{array}{cccc}{x'_1}\\{x'_2 }\\{x'_3} \\{x'_4}\end{array}\right] =    \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix} \cdot  \left[{\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{array}\right]  \)

Si queremos esta igualdad matricial la podemos expresar como un sistema de ecuaciones.

Hasta pronto

[carop]

Lo que hice fue lo siguiente:
Debido a que la matriz asociada a una transformación lineal satisface que:

\(  T (x_1,....,x_n) = (M_T\begin{bmatrix}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{bmatrix})^t \)

Entonces, para hallar la transformación lineal \( T(x,y,z,w)  \) debo multiplicar mi matriz asociada por el vector \(  (x,y,z,w)  \) transpuesto.

Entonces, obtengo:

\(  \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\\{0}&{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}\cdot{} \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{x}\\{z+w}\\{-w}\\{-y+w}\end{bmatrix}  \)

entonces, obtengo \(  T(x,y,z,w) = (x , z+w , -w , -y+w)  \) que cumple que:

\( \\
T (1,0,0,0) = (1,0,0,0) \\ T(0,1,0,0)= (0,0,0,-1) \\ T (0,0,1,0)=(0,1,0,0) \\ T (0,0,0,1)=(0,1,-1,1)  \)

Siendo estos resultados los transformados de la base canónica y, por lo tanto, las columnas de \( M_T \).

No sé si está bien el planteo, así que espero sus respuestas.
¡Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Correcto.

Saludos.

[carop]

Muchas gracias a todos por ayudarme