[Magdy]

Hola a todos, acá estoy molestando de nuevo con otra integral:

\( \displaystyle\int \frac{-\cos^2(x)}{\sen(x)}dx \)

Bueno es la integral de todo eso. No sé porqué no puedo poner ni cos ni sen en el tex, disculpen u.u

subir.cc/images/dibujomtm.png
Por si sirve u.u, saqué el http por que sino, no toma el dibujo. Perdón.

[pierrot]

No sé porqué no puedo poner ni cos ni sen en el tex, disculpen u.u

No sé que está ocurriendo con el motor de LaTeX del foro. Aparentemente da errores de compilación en códigos que son correctos sintácticamente. Por el momento, prescindiremos de él.

Utiliza que:

\( \cos^2(x)+\sen^2(x)=1\quad \Rightarrow\quad -\cos^2(x)=\sen^2(x)-1 \)

Así,

\( \dfrac{-\cos^2(x)}{\sen(x)}=\dfrac{\sin^2(x)-1}{\sen(x)}=\sen(x)-\dfrac{1}{\sen(x)} \)

Esperemos que este problema se solucione  .

[Magdy]

¡Ah, con razón! Gracias por la información del Latex. Mira, hasta ahí llegué:

\( \sen(x)-\dfrac{1}{\sen(x)} \)

pero cuando distribuyo la integral en \( \dfrac{1}{\sen(x)} \), sigo integrando y vuelvo a \( -\dfrac{\cos^2(x)}{\sen(x)} \) ....

Como si fuera una cíclica, y por eso no la puedo integrar. Tengo un método para integrales cíclicas pero con esta no me funciona, algo mal debo estar haciendo.

[Magdy]

\( \dfrac{1}{\sen(x)}=\dfrac{\cos^2(x)+\sen^2(x)}{\sen(x)} \) te queda de vuelta \( \sen(x)+\dfrac{\cos^2(x)}{\sen(x)} \)

No sé si estoy haciendo cualquier cosa o me perdí del objetivo.

[Abdulai]

Lo que pasa es que una vez descompuesta en \( \sen(x)+\dfrac{1}{\sen(x)} \), la integral del seno es inmediata y solamente te queda la de \( \dfrac{1}{\sen(x)} \), que la hacés por sustitución

\( u=\tg(x/2)\quad \Rightarrow\quad \sen(x)=\dfrac{2u}{1+u^2},\quad dx=\dfrac{2du}{1+u^2} \)

[pierrot]

Observa que

\( \sen(x)=\dfrac{2\cdot\tg(x/2)}{1+\tg^2(x/2)} \)

y que la derivada de \( \tg(x) \) es \( 1+\tg^2(x) \).

Lo que digo es lo mismo que lo que te dice Abdulai.

[Magdy]

\( \sen(x)=\dfrac{2\cdot\tg(x/2)}{1+\tg^2(x/2)} \)

Esto no lo sabía y voy a tardar un rato en asimilarlo. Gracias por las respuestas.

[pierrot]

¡Ah, con razón! Gracias por la información del Latex.

Se ha restablecido el motor de \( \LaTeX \). Ya puedes volver a usarlo  .

[pierrot]

\( \sen(x)=\dfrac{2\cdot\tg(x/2)}{1+\tg^2(x/2)} \)

Esto no lo sabía y voy a tardar un rato en asimilarlo. Gracias por las respuestas.

Por cierto, esa identidad puedes verificarla operando simplemente:

\( \begin{align*}\sen(x)&=\frac{2\cdot\tg(x/2)}{1+\tg^2(x/2)}\\\\&=\frac{2\cdot\dfrac{\sen(x/2)}{\cos(x/2)}}{1+\dfrac{\sen^2(x/2)}{\cos^2(x/2)}}\\\\&=\frac{2\cdot\sen(x/2)}{\cos(x/2)+\dfrac{\sen^2(x/2)}{\cos(x/2)}}\\\\&=\frac{2\cdot\sen(x/2)\cos(x/2)}{\cos^2(x/2)+\sen^2(x/2)}\\\\&=\frac{2\cdot\sen(x/2)\cos(x/2)}{1}\end{align*} \)

El seno de un ángulo doble es \( \sen(2a)=2\cdot\sen(a)\cos(a) \), luego tomando \( a=x/2 \) se sigue:

\( \sen(x)=2\cdot\sen(x/2)\cos(x/2) \)

Saludos