Hola
Hola. Como lo tres autovectores son distintos puedes obtener, aprovechando que son invariantes por f, unos sistemas de ecuaciones a través de
No tienen porqué ser todos vectores propios asociados a 1. De hecho, la condición ii) establece que A debe tener un autovalor real doble y uno real simple.
Bueno estrictamente feriva no ha impuesto que necesariamente los autovalores sean \( 1 \). Si te fijas en cada ecuación cambia los elementos de la diagonal. Pero ha usado un método extremadamente antinatural y no del todo correcto (incompleto). Si \( \lambda \) y \( u \) son respectivamente autovalor y autovector de \( A \) entonces:
\( Au=\lambda u\quad \Leftrightarrow{}\quad (A-(\lambda-1))u=u \)
De todas formas le faltarían ecuaciones porque los términos \( d_1,d_2,d_3,r_1,r_2,r_3,k_1,k_2,k_3 \) estarían relacionados entre sí, siendo cada tres de ellos los de \( A \) más una constante.
Otra forma alternativa a la propuesta por pabloN sería: si \( \{(2,1,3),(-1,0,1),(0,1,-1)\} \) son autovectores de \( A \) se cumple que:
\( P^{-1}AP=\begin{pmatrix}{\lambda_1}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_2}&{0}\\{0}&{0}&{\lambda_3}\end{pmatrix} \)
con \( P=\begin{pmatrix}{2}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{1}\\{3}&{1}&{-1}\end{pmatrix} \), siendo \( \lambda_i \) los autovalores que deseemos (el enunciado nos pide que haya dos repetidos).
Para hallar \( A \) simplemente:
\( A=P\begin{pmatrix}{\lambda_1}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_2}&{0}\\{0}&{0}&{\lambda_3}\end{pmatrix}P^{-1} \)
Saludos.
