[lyayana]

Mi problema es el siguiente:

Sea \( f \) continua en \( [a,b] \) y \( f(x)=0 \) si \( x \) es racional. Probar que \( f(x)=0 \) para todo \( x \) que pertenece a \( [a, b] \).

Demostración
Sea \( x \) que pertenece a \( [a,b] \) donde \( x \) es irracional y sea \( \{x_n\} \) cualquier sucesión tal que \( \{x_n\} \) esté contenida en los racionales. Notemos que \( f(x_n)=0 \)  para todo \( n \). Así, como \( f \) es continua,

\( \displaystyle 0=\lim_{n\to +\infty}0=\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=f(\lim_{n\to \infty}x_n)=f(x) \)

MI PREGUNTA ES: ¿CÓMO GARANTIZO LA EXISTENCIA DE ESA SUCESIÓN Y ADEMÁS POR QUÉ ESTÁ CONTENIDA EN LOS RACIONALES?

Por favor, utiliza \( \red\LaTeX \) para las fórmulas matemáticas.

[pierrot]

Sea \( x \) que pertenece a \( [a,b] \) donde \( x \) es irracional y sea \( \{x_n\} \) cualquier sucesión tal que \( \{x_n\} \) esté contenida en los racionales.

Faltó otra condición, y es que \( \displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=x \). O sea, fijado un irracional \( x\in [a,b] \) estamos considerando una sucesión \( \{x_n\} \) que satisface:

i) \( \{x_n\}\subseteq \mathbb{Q} \)

ii) \( \displaystyle\lim_{n\to \infty}x_n=x \)

MI PREGUNTA ES: ¿CÓMO GARANTIZO LA EXISTENCIA DE ESA SUCESIÓN Y ADEMÁS POR QUÉ ESTÁ CONTENIDA EN LOS RACIONALES?

Como bien dices, faltaría garantizar la existencia de una tal sucesión. Es decir, se está usando el siguiente resultado:

Dado un número irracional, siempre existe una sucesión de números racionales que converge a dicho número.

La demostración de ese "teorema" dependerá, supongo yo, de la construcción teórica se haya hecho de los números reales.