[lmnop]

Tengo el siguiente ejercicio:

\( I=\displaystyle\int_{0}^3 \sqrt{x(3-x)} dx \)

Me piden resolverla utilizando integrales eulerianas, y como sugerencia me dan el hacer el cambio x=3t.

El ejercicio lo tengo resuelto pero hay un primer paso que no entiendo: Al hacer el cambio de variable por qué la integral queda entre 0 y 1 en vez de 0 y 3?

\( I=\displaystyle\int_{0}^1 \sqrt{3t(3-3t)} 3dt \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Siempre que haces un cambio de variable tienes que cambiar los límites de integración.

 Si integras \( [0,3] \) es decir para la variable \( x \) cumpliendo \( 0\leq x\leq 3 \) y tomas \( x=3t \), entonces:

\(  0\leq 3t\leq 3\quad \Leftrightarrow{}\quad 0\leq t\leq 1 \)

 y por tanto \( t\in [0,1] \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

Quedaría por tanto

\( I=9\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{t(1-t)}\;dt=9\;B \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=9\;\dfrac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}=9\;\displaystyle\frac{(\sqrt{\pi})^2}{1}=9\pi \)