[Jano]

Si \( x_1 < x_2 \) son reales cualesquiera y \( x_{n+2}=\dfrac{2}{3}x_n +\dfrac{1}{3}x_{n+1} \). Demostrar que es convergente y hallar su límite.

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[Fernando Revilla]

Si \( x_1 < x_2 \) son reales cualesquiera y \( x_{n+2}=\dfrac{2}{3}x_n +\dfrac{1}{3}x_{n+1} \). Demostrar que es convergente y hallar su límite.

Si has dado la teoría de sucesiones recurrentes, y resolviendo la ecuación cararterística fácilmente comprobarás que la sucesión es

\( x_n=\displaystyle\frac{2}{5}x_1+\displaystyle\frac{3}{5}x_2+\displaystyle\frac{9(x_2-x_1)}{10}\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\right)^n \)

cuyo límite es \( L=\displaystyle\frac{2}{5}x_1+\displaystyle\frac{3}{5}x_2 \).

En otro caso, estudia la monotonía y acotación de la sucesión.

[Jano]

No he dado eso que dices, pero guardo la respuesta para cuando lo de, gracias por la respuesta.

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma. Si restas a ambos lados \( x_{n+1} \) te queda:

\(  x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{2}{3}(x_{n+1}-x_n) \)

 de donde:

\(  x_{m+1}-x_{m}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{m-1}(x_2-x_1) \)

 Y de ahí::

\(  x_m-x_1=(x_m-x_{m-1})+(x_{m-1}-x_{m-2})+\ldots+(x_2-x_1)=(x_2-x_1)\displaystyle\sum_{k=0}^{m-2}{}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^k \)
 
Puedes terminar usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Otra opción para hallar el término enésimo (ésta es algebraica):

Llamando \( X_{n+2}=\left({\begin{array}{ccc}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{array}\right) \) queda \( X_{n+2}=AX_{n+1} \) en donde \( A=\begin{pmatrix}{1/3}&{2/3}\\{1}&{0}\end{pmatrix}. \)

De aquí obtenemos \( X_{n+2}=A^nX_2=A^n\left({\begin{array}{ccc}{x_{2}}\\{x_{1}}\end{array}\right) \) y la potencia enésima se puede hallar por diagonalización.

P.D. En el supuesto de haber demostrado previamente que la sucesión es convergente, no es posible en éste caso decidir el límite \( L \) tomando límites en la recurrente pues aparecería \( L=L \).