[Jano]

Demostrar que la sucesión dada por \( x_1 > 0 \) \( x_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2 + x_n} \) es contractiva.

[Gustavo]

\( \left |{x_{n+2}-x_{n+1}}\right |=\left |\dfrac{1}{2+x_{n+1}}-\dfrac{1}{2+x_n}\right |=\dfrac{\left |{x_{n+1}-x_n}\right |}{(2+x_{n+1})(2+x_n)}\le \dfrac14 \left |{x_{n+1}-x_n}\right | \)

ya que \( x_n>0. \)