[Jano]

Hallar el límite superior e inferior de la sucesión \( ( \displaystyle\sen(n\displaystyle\frac{\pi}{2})+(\displaystyle\frac{1 + 2^n}{2^{n+1} })*cos(n*\pi )) \). Me gustaría también que me explicaran un poco el concepto de límite superior y límite inferior.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 El límite superior es el mayor número para el cual existe una subsucesión que converge a él.

 El límite inferior es el menor número para el cual existe una subsucesión que converge a él.

 En el caso de tu sucesión divídela en cuatro subsucesiones:

 - La de los términos de la forma \( n=4k \).
 - La de los términos de la forma \( n=4k+1 \).
 - La de los términos de la forma \( n=4k+2 \).
 - La de los términos de la forma \( n=4k+3 \).

 y halla el líimte para cada uno de ellas.

 La elección de las subsucesiones es debido a que el término \( cos(n\pi) \) toma uno u otro valor dependiendo de si \( n \) es o no par y el término\(  sin(n\pi/2) \) dependiendo del resto de dividir \( n \) por \( 4 \).

Saludos.

[Jano]

Entendido, muchas gracias.

[Jano]

He hecho los cálculos para esta sucesión y otras 3 que me daba el ejercicio que son \( (-1)^n \) y \( (1 + \displaystyle\frac{1}{n})*(\cos n*pi) \) y las tres me daban como limite superior 1 y como límite inferior -1, ¿Es eso cierto?

[Luis Fuentes]

Hola

He hecho los cálculos para esta sucesión y otras 3 que me daba el ejercicio que son \( (-1)^n \) y \( (1 + \displaystyle\frac{1}{n})*(\cos n*pi) \) y las tres me daban como limite superior 1 y como límite inferior -1, ¿Es eso cierto?

Para las dos últimas que citas es correcto.

Para la que era motivo de tu consulta inicial no.

- Si \( n=4k  \) te queda \( a_n=\dfrac{1+2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{2} \) cuyo límite es \( \dfrac{1}{2} \).

- Si \( n=4k+1  \) te queda \( a_n=\dfrac{1}{2} \) cuyo límite es \( \dfrac{1}{2} \).

- Si \( n=4k+2  \) te queda \( a_n=-\dfrac{1+2^{n}}{2^{n+1}}=-\dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{2} \) cuyo límite es \( -\dfrac{1}{2} \).

- Si \( n=4k+3  \) te queda \( a_n=-\dfrac{1}{2} \) cuyo límite es \( -\dfrac{1}{2} \).

Por tanto el límite superior es \( \dfrac{1}{2} \) y el inferior \( -\dfrac{1}{2}. \)

Saludos.