[josepapaiii]

Hola, tengo el siguiente espacio topológico:

\( \mathbb{R} \) (o un conjunto que contenga al 0). Topología: \( \{A \subset \mathbb{R}: 0 \in A\} \cup \{\emptyset\} \)

Comprobar si es segundo numerable y arcoconexo.

He podido comprobar que no primero numerable, puesto que no he encontrado una base de entornos numerable, ya que las bases de entornos, son de la forma:

\( B_x=\{\{x\} \cup 0\} \), \( \forall x \in \mathbb{R} \), y no es numerable.

¿Cómo puedo ver si es segundo numerable?

También he visto que sí es conexo, puesto que no existen dos abiertos \( O \) cuya unión sea el total y ambos sean disjuntos.

¿Cómo puedo ver si es o no arcoconexo?.

Un saludo.

[Tanius]

Para cada \( x\in{\mathbb{R}} \), el conjunto \( \left\{{x,0}\right\} \) es un entorno de \( x \) que está contenido en cualquier entorno que tenga a \( x \). Luego \( \left\{{\left\{{x,0}\right\}}\right\} \) es base de entornos de \( x \), luego sí que es tu espacio primero numerable.

También he visto que sí es conexo, puesto que no existen dos abiertos \( O \) cuya unión sea el total y ambos sean disjuntos.

No es conexo, no hay abiertos no vacíos disjuntos.

Arcoconexo no es porque no es conexo.

Lo de segundo numerable habría que pensarlo bien.

[Tanius]

El conjunto \( \left\{{\left\{{x,0}}\right\} : x\in{\mathbb{R}}\right\} \) es base de \( \mathbb{R} \) con la topología dada. Si este espacio fuese segundo numerable, podríamos extraer una base numerable de la base que escribí, pero eso no es posible.

[lindeloff]

Si fuera segundo numerable, entonces por teorema es lindeloff, por lo tanto de todo cubrimiento por abiertos tendría un sub-cubrimiento numerable
pero el cubrimiento \( \{ \{ 0,x \}, x\in\mathbb{R} \} \) no puede tener un sub cubrimiento numerable, ya que si le sacas algún \( \{ 0,y \} \) ya no es un cubrimiento
por tanto no puede ser segundo numerable

[josepapaiii]

No es conexo, no hay abiertos no vacíos disjuntos.

Pues entonces sí es conexo, es la definición:

Definición:Un espacio topológico se dice que es conexo si no se puede poner como la unión de dos abiertos no vacíos y disjuntos.

Que es justo lo que tú estás diciendo, además, para ser un abierto, debe contener al cero, es decir, la intersección de todos los abiertos, como mínimo contienen al cero, es decir, no disjunta.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Pues entonces sí es conexo, es la definición:

Definición:Un espacio topológico se dice que es conexo si no se puede poner como la unión de dos abiertos no vacíos y disjuntos.

Que es justo lo que tú estás diciendo, además, para ser un abierto, debe contener al cero, es decir, la intersección de todos los abiertos, como mínimo contienen al cero, es decir, no disjunta.

Si, es cierto, es conexo. Creo que Tanius razonó bien pero al final se le cruzó un cable...  

En cuanto a la conexión por caminos observa que, dado \( \color{red}x_0\color{black}\in R \), la función:

\( \alpha:[0,1]\longrightarrow{}R \)

\( \alpha(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x\in [0,1/2)\\\color{red}x_0\color{black} & \mbox{si}& x\in [1/2,1]\end{matrix} \)

es continua (considerando en el espacio de llegada la topología dada en el enunciado).

En cuanto a la segunda numerabilidad, observa que es una propiedad hereditaria. Entonces si tu espacio fuese segundo numebrable también lo sería\(  R-\{0\} \) con la topología restringida. Pero la topología restringida si retiramos el cero es la discreta.

Saludos.

CORREGIDO

[Tanius]

Huy, perdón

[josepapaiii]

Pero esa función es la que une el 0 con el 1, para unir el 0 con otro punto a, bastaría con poner a en lugar del 1, ¿cierto?

Un saludo y gracias por las respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero esa función es la que une el 0 con el 1, para unir el 0 con otro punto a, bastaría con poner a en lugar del 1, ¿cierto?

Un saludo y gracias por las respuestas.

Si; de hecho mi intención era unir \( 0 \) con cualquier \( x_0 \), pero luego me lie al escribirlo. Ya lo he corregido.

Saludos.