[Esklus]

Buenas, estoy intentando resolver un ejercicio y no sé cómo demostrarlo formalmente.
"Sea el conjunto \( A=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 - 4 \le y \le 4-x^2 \} \), demostrar que es cerrado". Intuitivamente veo que es cerrado (de hecho, compacto), pero a la hora de formalizarlo o justificarlo no sé como hacerlo. ¿Cómo debo hacerlo?
Muchas gracias.

[Tanius]

Velo como intersección de dos conjuntos cerrados. Utiliza que la imagen inversa de un cerrado bajo una función continua es un cerrado.

[Esklus]

A ver si lo entiendo...
\( A \) es cerrado porque es la antiimagen de una función continua \( f:\mathbb{R}^2 \rightarrow{} \mathbb{R}^2 \). Es decir, \( f(x,y)=(x^2-4-y,4-x^2-y) \), cuya \( f^{-1}((-\infty,0] \times [0,\infty)) \). Como es cerrado, A es cerrado.
¿Es correcto?

[Tanius]

No pensaba en eso, pero lo que pones está bien

[Esklus]

¿Podrías indicarme cómo lo hubieras demostrado? Es para tener otra perspectiva 

[Tanius]

Casi lo mismo, simplemente era tomar \( f(x,y) = x^2-4-y \) y \( g(x,y)=4-x^2-y \), considerar imagen inversa de cerrados para concluir que \( \left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}} ^2 : x^2-4\le y}\right\} \) y \( \left\{{(x,y)\in{\mathbb{R}} ^2 : 4-x^2\ge y}\right\} \) son cerrados, y luego considerar la intersección, que es cerrada.