[fontecelta]

Buenas. Llevo dándole vueltas mucho tiempo pero cuando parece que lo tengo entendido siempre me falla algo. Mi duda viene principalmente en el cálculo del núcleo de un espacio ( o subespacio ) cuando me dan la matriz de Gram. Por ejemplo en el siguiente ejercicio. Me dan una métrica y la siguiente base, calculo la matriz de Gram y queda lo siguiente:

\( B=\left\{(1,0,0,0),(1,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,1,-1)\right\} \) y la matriz de Gram: \( A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3\end{bmatrix} \)

Me pide escribir \( R^4 \) como suma ortogonal de subespacios de dimensión 1.

Bien, para ello tengo que coger un vector \( v/v^2\neq{0} \). Entonces cojo el \( v_{1}=(1,0,0,0) \). Por lo tanto:

\( R^4=<v_{1}>\perp{<v_{1}>^\perp{}} \)

Mi problema empieza ahora:

\( <v_{1}>^\perp{}=\left\{{x_{1}\cdot{e_1}+x_{2}\cdot{(e_{1}-e_{2})}+x_{3}\cdot{e_{3}}+x_{4}\cdot{(e_{3}-e_{4})}}/(1\;0\;0\; 0)\cdot{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3\end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}x_{1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{bmatrix}}=0\right\} \)

Entonces, tengo apuntado lo siguiente:

El vector \( (1\;0\;0\;0\;) \) son las coordenadas de \( v_{1} \) en función de la base \( B \).
El vector \( (x_{1},x_{2},x{3},x{4}) \) son las coordenas respecto al espacio.

Primera duda:

Una vez que resuelves ese sistema te queda de solución una única incógnita, y es que \( x_{1}=0 \), entonces está generado por: \( <(e_{1}-e_{2},e_{3},e_{3}-e_{4})> \) con \( x_{2},x_{3},x_{4}\in{R}=<e_{4}>\perp{<e_{4}}>^{\perp{}} \)

A continuación toma el vector \( e_{4} \) y calcula \( e_{4}^\perp{} \) de la siguiente forma: Segunda duda:

\( <e_{4}>^\perp{}=\left\{{(x_{1},-x_{1},x_{3},x_{4})/(0\;0\;0\;1)\cdot{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3\end{bmatrix}}\cdot{\left[{\begin{array}{ccc}{x_{1}}\\{-x_{1}}\\{x_{3}}\\{x_{4}}\end{array}\right]}=0}\right\}
 \)

Mi primera duda es: ¿ Por qué pone que es igual a \( <e_{4}>\perp{<e_{4}}>^{\perp{}} \) ? En esta supongo que será porque tras coger los generadores prueba con uno de ellos para ver cual no es isótropo y este no es isótropo, por lo tanto a partir de él seguirá con la suma ortogonal.

Pero donde tengo mayores problemas es en la segunda, no entiendo por qué pone esas coordenadas. La de respecto a la base sí, pero lo otro no. No se supone que \( x_{1}=0 \) ?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 En general no me gusta nada como está resuelto y planteado el problema.

 O dedicidimos trabajar en coordenadas en la base \( B \)  ó decidimos trabajar en la canónica, pero simultanear ambas es confuso.

 Mi sugerencia sería trabajar en principio en la base \( B \) (y al final si queremos pasamos los resultados a la canónica).

 Entiendo además que la matriz \( A \) es la matriz de Gram respecto de la base \( B \) (no queda claro en tu enunciado).

 Entonces:

 \( v_1=(1,0,0,0)_B \) (que coincide con el \( (1,0,0,0) \) en la base canónica porque, ¿ves por qué?, pero eso no es necesario tenerlo en cuenta por ahora).

 Al calculoar \( <v_1>^\bot \) obtienes que viene dado por la ecuación implícita (en la base \( B \)):

\(  x_1=0 \)

 Eso quiere decir que:

\(  <v_1>^\bot=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)_B|x_1=0,\, x_2,x_3,x_4\in R\}= \)

\( =\{(0,x_2,x_3,x_4)_B|x_2,x_3,x_4\in R\} \)

 Ahora si quisieras expresarlo en la canónica:

\(  (0,x_2,x_3,x_4)_B=0\cdot (1,0,0,0)_C+x_2(1,-1,0,0)_C+x_3(0,0,1,0)_C+x_4(0,0,1,-1)_C= \)

\( =(x_2,-x_2,x_3+x_4,-x_4)_C=x_2(e_1-e_2)+x_3e_3+x_4(e_3-e_4) \)

 Pero yo no recomiendo hacer eso. Recomiendo seguir trabajando en la base \( B \).

 Luego deberías de tomar un vector \( v_2 \) cumpliendo la ecuación implícita anterior y que no sea isótropo.

 Pero yo no entiendo lo que has escrito; cuando calculas \( <e_4>^\bot \) parece que usas la matriz \( A \) como si fuera la matriz de Gram en la base canónica. Entonces aclara bien el enunciado.

Saludos.

[fontecelta]

Hola

 En general no me gusta nada como está resuelto y planteado el problema.

 O dedicidimos trabajar en coordenadas en la base \( B \)  ó decidimos trabajar en la canónica, pero simultanear ambas es confuso.

 Mi sugerencia sería trabajar en principio en la base \( B \) (y al final si queremos pasamos los resultados a la canónica).

 Entiendo además que la matriz \( A \) es la matriz de Gram respecto de la base \( B \) (no queda claro en tu enunciado).

 Entonces:

 \( v_1=(1,0,0,0)_B \) (que coincide con el \( (1,0,0,0) \) en la base canónica porque, ¿ves por qué?, pero eso no es necesario tenerlo en cuenta por ahora).

 Al calculoar \( <v_1>^\bot \) obtienes que viene dado por la ecuación implícita (en la base \( B \)):

\(  x_1=0 \)

 Eso quiere decir que:

\(  <v_1>^\bot=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)_B|x_1=0,\, x_2,x_3,x_4\in R\}= \)

\( =\{(0,x_2,x_3,x_4)_B|x_2,x_3,x_4\in R\} \)

 Ahora si quisieras expresarlo en la canónica:

\(  (0,x_2,x_3,x_4)_B=0\cdot (1,0,0,0)_C+x_2(1,-1,0,0)_C+x_3(0,0,1,0)_C+x_4(0,0,1,-1)_C= \)

\( =(x_2,-x_2,x_3+x_4,-x_4)_C=x_2(e_1-e_2)+x_3e_3+x_4(e_3-e_4) \)

 Pero yo no recomiendo hacer eso. Recomiendo seguir trabajando en la base \( B \).

 Luego deberías de tomar un vector \( v_2 \) cumpliendo la ecuación implícita anterior y que no sea isótropo.

 Pero yo no entiendo lo que has escrito; cuando calculas \( <e_4>^\bot \) parece que usas la matriz \( A \) como si fuera la matriz de Gram en la base canónica. Entonces aclara bien el enunciado.

Saludos.

En el enunciado no hay mucho más. Primero me manda calcular la matriz de Gram respecto a las canónicas y posteriormente respecto a la base B puesta arriba. En el caso de \( <v_{1}>^\perp{} \) está trabajando con la base B, pero tampoco me especifica un cambio hacia la base canónica en el cálculo de \( <e_{4}^\perp{} \). Y la verdad es que yo tampoco entiendo muy bien el procedimiento a partir de este punto...