Saludos compañeros. Tengo un problema que he resuelto, pero me gustaría que verificaran mis planteamientos (no tanto los cálculos), ya que de momento me siento algo inseguro. Dice así:
Sean \( a,b \in \mathbb{R} \), \( u=(1-a,a,1-a) \in \mathbb{R}^3 \) y \( f \) un endomorfismo de \( \mathbb{R}^3 \) dado por:
\( f(x,y,z)=(x+y+2z, 2x+2z, bx+y + 3z) \)
(i) Encontrad la matriz de \( f \) en la base canónica de \( \mathbb{R}^3 \). Dad bases del núcleo y de la imagen de esta aplicación.
Si no me equivoco, \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ b & 1 & 3 \end{pmatrix} \).
De donde vemos que \( \dim \; Im \; f = 3, \text{si} \; b \neq 2 \) y que \( \dim \; Im \; f = 2, \text{si} \; b = 2 \). Así:
-Si \( b=2 \), \( Im \; f = \langle (1,0,1),(2,2,3) \rangle \)
- Si \( b\neq 2 \), \( Im \; f = \langle (1,2,b),(1,0,1),(2,2,3) \rangle \)
Por otro lado, que \( \dim \; Nuc \; f = 0, \text{si} \; b \neq 2 \) y \( \dim \; Nuc \; f = 1, \text{si} \; b = 2 \)
- Si \( b\neq 2 \), \( Nuc \; f = \{ \vec 0 \} \)
-Si \( b=2 \), el núcleo son los (x,y,z) tales que:
\( x+z=0 \), \( x+y+2z=0 \)
Que resolviendo queda \( Nuc \; f = \langle (1,1,-1) \rangle \).
(ii) Determinad los valores de a y b para los cuales \( Im(f)\neq \mathbb{R}^3 \) y \( u \in Im(f) \)
Ya hemos visto que b=2.
La ecuación de la imagen es \( 2x+y-2z=0 \). Para que el vector u satisfaga la ecuación, ha de cumplirse que a=0.
(iii) Encontrad una base de un subespacio vectorial \( H \neq \mathbb{R}^3 \) tal que \( f(H) = Im(f) \).
Este es el que no tengo idea de dónde cogerlo. ¿Alguna ayuda?
Muchas gracias de antemano, y felices fiestas
