Hola, quería dejar (en un nuevo intento...) una breve descripción de la cuestión de las coordenadas proyectivas (homogéneas) vs. las coordenadas afines, en un espacio proyectivo y afín, respectivamente, para chequear el contenido de verdad de las afirmaciones.
En \( R_3 \), 4 puntos proyectivos no alineados definen una base (ó sistema de referencia) de un plano proyectivo \( P_2 \): por ejemplo, los puntos \( \lambda_1(3, 2, 1); \lambda_2(1, 2, 3); \lambda_3(2, 0, 1) \) permiten, junto al punto unidad \( \lambda_4(6, 4, 5) \), el paso a la base \( 6(3, 2, 1); 4(1, 2, 3); 5(2, 0, 1) \); y sus múltiplos escalares \( \lambda6(3, 2, 1); \lambda4(1, 2, 3);\lambda5(2, 0, 1) \).
En ese contexto, los conjuntos de 3 coordenadas tales como \( (x', y', z') \) definen elementos del plano proyectivo en cuestión, del siguiente modo: \( x'\lambda 6(3, 2, 1)+y' \lambda 4(1, 2, 3)+z' \lambda 5(2, 0, 1) \), lo que es igual a \( \lambda [x'6(3, 2, 1)+y'4(1, 2, 3)+z'5(2, 0, 1)] \), como punto proyectivo genérico en esa base.
Ahora, para definir un plano afín en el plano proyectivo en cuestión, puede establecerse que los puntos de la forma \( \lambda(x', y', 1) \) con, por supuesto, \( (x', y', 1) \) en la base proyectiva antes definida, engendran una plano afín (un plano vectorial dado, y sus múltiplos escalares ú homotecias).
Bueno, si pudiera chequear esto, recién entonces podría seguir adelante (recién podría plantear el tema del cambio de base y coordenadas). Un saludo y gracias!
