[mathsandphysics]

Hola. Tengo un ejercicio de aplicaciones lineales que no consigo resolver.

Sea \( u: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) un endomorfismo tal que \( u^2 \neq u \), \( u^2 \neq \text {Id} \), \( u=u^3 \).

1. Demostrad que para todo \( x \in \mathbb{R}^4, x-u^2(x) \in \text{Nuc} \; u^2 \).

¿Alguna idea de por dónde cogerlo?

Gracias de antemano

[Gustavo]

Verifica que \( u^2(x-u^2(x))=\vec 0. \)

Spoiler

\( u^2(x-u^2(x))=u^2(x)-u^2(u^2(x))=u^2(x)-u(u^3(x))=u^2(x)-u^2(x). \)

[cerrar]

[mathsandphysics]

¡Muchas gracias!

En el siguiente apartado me dicen que demuestre que \( \mathbb{R}^4=\text{Nuc} \; u^2 \oplus \text{Im} \; u^2 = \text{Nuc} \; u \oplus \text{Im} \; u \)

Para ver que \( \mathbb{R}^4=\text{Nuc} \; u^2 \oplus \text{Im} \; u^2  \), tengo que \( \text{Nuc} \; u^2 \cap \text{Im} \; u^2 = \{ \vec 0 \}  \), pero no sé cómo combinarlo con las hipótesis del enunciado.

Para  \( \mathbb{R}^4= \text{Nuc} \; u \oplus \text{Im} \; u \) creo que es inmediato si resuelvo el apartado anterior, pues tengo que \( \text{Im} \; u^3 \subset \text{Im} \; u^2 \subset \text{Im} \; u \quad \Rightarrow \quad \text{Im} \; u^2 = \text{Im} \; u  \), y análogamente con el núcleo.

¿Es correcto el último planteamiento? ¿Alguna pista para la primera igualdad?

Saludos y muchísimas gracias de antemano

[Gustavo]

¿Es correcto el último planteamiento?

Correcto.

¿Alguna pista para la primera igualdad?

Supón que \( y\in\mbox{N\'uc}(u^2)\cap\mbox{Im}(u^2), \) luego

- Existe \( x\in\Bbb R^4 \) tal que \( u^2(x)=y \)    (1)
- \( u^2(y)=0 \)    (2)

Usando (2), se tiene que \( u^3(y)=0. \) Se reemplaza \( y \) usando (1) y se obtiene que \( u^3(u^2(x))=0. \)

Reduce esa última igualdad usando que \( u^3=u \) y concluye que \( y=\vec 0. \)

[mathsandphysics]

¡Muchas gracias!, he entendido el procedimiento. No obstante, discrepo en el último paso. Cuando dices:

Usando (2), se tiene que \( u^3(y)=0. \)

¿De dónde sacas el cubo? ¿No sería \( 0=u^2(y)=u^2(u^2(x))=u(u^3(x))=u^2(x)=y \) ?

Gracias de nuevo.

Saludos

PD: Aprovecho para preguntar: ¿Por qué me han dado las otras hipótesis en el enunciado si no las hemos tenido que utilizar?

[Gustavo]

Usando (2), se tiene que \( u^3(y)=0. \)

¿De dónde sacas el cubo? ¿No sería \( 0=u^2(y)=u^2(u^2(x))=u(u^3(x))=u^2(x)=y \) ?

Por el lado en que lo viste sale más rápido. Lo que te indicaba era:

\( u^2(y)=0 \Longrightarrow u^3(y)=u(0)=0 \) y de ahí es casi lo mismo que hiciste:

\( 0=u^3(u^2(x))=u(u^2(x))=u^3(x)=u(x), \) luego se aplica \( u \) a ambos lados y ya.

PD: Aprovecho para preguntar: ¿Por qué me han dado las otras hipótesis en el enunciado si no las hemos tenido que utilizar?

Imagino que para no tener casos "triviales". Por ejemplo, en el primer punto se debería comprobar que \( u(\vec 0)=\vec 0 \) si \( u^2=\mbox{Id}. \)