[paduana]

Hola

¿Podrían ayudarme con este ejercicio por favor?

(1) Se considera la derivación \( X=2\frac{d}{dx}-\frac{d}{dy}+3\frac{d}{dz} \). Calcular las coordenadas de \( X \) en coordenadas cilíndricas \( r,\theta, z \) (\( x=r\cos\theta,\ y=r\sen\theta,\ z=z \)).

(2) Sea \( M=F^{-1}\{1\}, F:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}/F(x,y)=x^2+y^2 \). Se consideran los campos \( X,Y\in \gamma \) definidos como:

• \( X=(x^2-1)\frac{d}{dx}+xy\frac{d}{dy}+xz\frac{d}{dz} \)
  
• \( Y=x\frac{d}{dx}+y\frac{d}{dy}+2xz^2\frac{d}{dz} \)
  

¿Es verdadero o falso que \( X_{|M},Y_{|M} \) son elementos de \( \gamma (M) \)?

Muchas gracias.

Título corregido: ejercicio geometria defirencial ---> Ejercicio de geometría diferencial

He corregido algunas erratas, y también errores en el código \( \red \LaTeX \). Relee tus mensajes antes de publicar. Por ejemplo, habías escrito mUCHAS GRACIAS en vez de Muchas gracias (claramente olvidaste desactivar Bloq Mayús).

[Luis Fuentes]

Hola

 (1) Tienes que:

\(  \dfrac{{\partial }}{{\partial r}}=\dfrac{{\partial  x}}{{\partial r}}\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}+\dfrac{{\partial  y}}{{\partial r}}\dfrac{{\partial }}{{\partial y}}+\dfrac{{\partial  z}}{{\partial r}}\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}=cos(\theta)\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}+sin(\theta)\dfrac{{\partial }}{{\partial y}} \)

 Haz lo análogo para \( \dfrac{{\partial }}{{\partial \theta}}, \dfrac{{\partial }}{{\partial z}} \) y tendrás las fórmulas de cambio de base entres las bases:

\( \left\{\dfrac{{\partial }}{{\partial x}},\dfrac{{\partial }}{{\partial y}},\dfrac{{\partial }}{{\partial z}}\right\} \)

y

\( \left\{\dfrac{{\partial }}{{\partial r}},\dfrac{{\partial }}{{\partial \theta}},\dfrac{{\partial }}{{\partial z}}\right\} \)

 2) Halla el vector normal del tangente a la superficie (1) (cuyas coordenadas en la base canónica son las parciales de \( F \)). Los vectores dados pertenecerán al tangente de \( M \) si son perpendicualres al vector normal.

(revisa el enunciado: hablas de \( R^3 \) y parece que luego sólo pones dos variables).

Saludos.