Consideremos los siguientes subespacios de \( \mathbb{R}^4 \)
\( F_a=\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \vert \; 3ax-y+at=0, (a-3)x+z+t=0\} \)
\( G_a=\langle (1,a,a^2,4) , (0,1,-1,1) \rangle \)
1. Dad bases, ecuaciones y dimensiones de \( F_a \cap G_a \)y \( F_a + G_a \)para los diferentes valores de a.
2.Para a=1, encontrad un subespacio V tal que \( V\oplus (F_1 \cap G_1)=F_1+G_1 \).
3. Sea \( H=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \vert \; y+z=0\} \). Determinad para qué valores de a se cumple que \( F_a \subseteq H \) y para qué valores de a se cumple \( G_a \subseteq H \).
El 1 lo tengo hecho.
El 2 tengo dudas. He planteado que:
\( \dim (V + (F_1 \cap G_1))=\dim V + \dim (F_1 \cap G_1) = \dim (F_1+G_1) \)
Y en función de los resultados obtenidos en el apartado 1 (la dimensión de la suma es 3 y de la intersección 1), obtengo que \( \dim V = 2 \).
Mi duda es, ¿cualquier subespacio generado por dos vectores que sean linealmente independientes al vector que genera \( F_1 \cap G_1 \) sería un candidato para V?
Tengo que \( F_1 \cap G_1 = \langle (0,1,-1,1) \rangle \). ¿En tal caso sería cierto que, por ejemplo, \( V=\langle e_1,e_2 \rangle \)?
El apartado 3 lo he estado pensando pero no se me ocurre. Creo que bastaría ver si una de las ecuaciones de los subespacios F y G coincide con la de H, pero estoy bloqueado. ¿Alguna idea?
Muchas gracias de antemano
Saludos,
