[athair]

Hola, tengo la siguiente cuestión sobre cambio de base y coordenadas, que describo por si alguien puede intervenir en la misma.

Suponiendo una base en \( R_{3} \), como la siguiente (pongo un ejemplo cualquiera): \( {(3, 2, 1); (1, 2, 3); (2, 0, 1)} \), luego los elementos con coordenadas de la forma \( (a, b, 1) \) con \( a, b\epsilon\mathbb{R} \) en dicha base formarán un plano (ó plano afín) en \( R_{3} \).

Luego, suponiendo un haz de rectas en dicho plano, haz que tiene un vértice A; puede verse que dicho vértice sería de coordenadas \( (a, b, 1) \) en la base inicial de \( R_{3} \) (esto es trivial, pues el vértice está en el plano, cuyos puntos son de esa misma forma de coordenadas).

Ahora viene mi duda: si necesito realizar un cambio de base de modo tal que el vértice antedicho adquiera unas nuevas coordenadas que sean \( (1, 0, 0) \), entonces:

a- ¿debo aplicar una matriz de cambio de base a los vectores de la base inicial en \( R_{3} \)?

b-Aplicando una tal matriz, luego el vector de coordenadas \( (a, b, 1) \) se transformaría en uno de coordenadas \( (1, 0, 0) \) aplicando la matriz de cambio de coordenadas correspondiente a la matriz de cambio de base utilizada?

c-¿cómo puede encontrarse tal matriz de cambio de base (ó bien la de cambio de coordenadas)?

Bueno, cualquier ayuda es más que bienvenida. Gracias a todos!

[Luis Fuentes]

Hola

No se entiende bien lo que planteas.

Suponiendo una base en \( R_{3} \), como la siguiente (pongo un ejemplo cualquiera): \( {(3, 2, 1); (1, 2, 3); (2, 0, 1)} \), luego los elementos con coordenadas de la forma \( (a, b, 1) \) con \( a, b\epsilon\mathbb{R} \) en dicha base formarán un plano (ó plano afín) en \( R_{3} \).

Esto ya es confuso; hay dos interpretaciones.

1) O bien estás trabajando con geometría afín en el espacio y estás hablando del plano \( z'=1 \) (en la base dada).

2) O bien estás trabajando con geometría proyectiva en el plano proyectivo y te refires a que te quedas con la carta afín \( z'\neq 0 \) (respecto a la base dada).

Tampoco está claro a que te refires con "base inicial de \( R^3 \)". ¿La canónica o la que tu fijaste?.

Por otra parte no hay un único cambio de coordenadas que lleve un punto de una referencia en otro de otra referencia.

Saludos.

[athair]

Gracias asintóticamente infinitas el_manco! creía que la respuesta no habría de llegar (por la restructuración del foro, etc.).
Mañana trataré de expresarme más claramente y/ó rectificar mis errores..
Hasta luego, entonces. Un saludo!

[athair]

Hago unas observaciones preliminares (y prácticamente triviales), para ver si son correctas.

1-Dada en \( R_3 \) una base cualquiera (por ejemplo, la que he escrito más arriba), la misma permite generar tres planos distintos en \( R_3 \) a partir de elegir como vectores directores a, alternativamente, los 3 pares posibles que pueden elegirse de entre los 3 vectores de la base.

2-Lo anterior me lleva a pensar que el hecho de simbolizar un plano afín, por ejemplo, con la notación \( z'=1 \) es una convención (notacional) en el sentido de que indicaría que la coordenada identificada con/como \( z' \) queda excluída en cada caso del par de vectores directores que determinan el plano: siendo convencional el hecho de tomar dicha coordenada (siguiendo un mismo orden...) como la correspondiente al tercer vector de la base empleada.

3-Dada una base cualquiera en \( R_3 \), el conjunto de vectores dado por \( (a, b, 1) \) con \( a,b \epsilon\mathbb{R} \) representa un plano.
______________________________________________________________________________

Ahora trataré de pasar a la cuestión que tú planteas (1 y 2).

Para empezar, diré que hasta cierto punto tengo en cuenta que en libro de Santaló se define subespacio afín como aquél resultante de excluir del espacio proyectivo a la recta del infinito (ó al menos, algún hiperplano).

Por lo que creo entender, la definición de Santaló de subespacio afín es compatible con tu alternativa 2: puesto en otros términos, se trataría del espacio proyectivo excluída (menos) la recta del infinito.

a-Ello implicaría todos los infinitos planos de la forma \( (a, b, k) \) con \( a,b\epsilon\mathbb{R} \) variables y \( k \) un escalar fijo (excepto cero) en cada caso.

b-En este contexto, me atrevería a escribir que dicho conjunto infinito de planos es una carta afín (mera deducción por comparación de expresiones). Es decir, la definición de Santaló de la que hablo, parecería referir al concepto de carta afín.

c-De aquí, que (también por mera deducción) la diferencia implícita en la alternativa que tú planteas (1 y 2) se podría expresar en términos de: un conjunto infinito de planos (=carta afín en un espacio proyectivo) vs. un plano único (afín?) (como espacio de geometría afín?).

d-Todo esto me lleva (sin saber si es lo más natural), lógicamente, a la cuestión del cuarto punto en un espacio proyectivo; osea, a la cuestión del establecimiento de una base proyectiva (mediante una cuarta coordenada).

e-Improvisaría algo como lo siguiente: el establecimiento de un cuarto punto (ó cuarta coordenada) permite establecer una base en una carta afín, de modo que del conjunto infinito de planos, quede determinado un único plano.

¿Algo de esto es correcto? Muchas gracias y un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

1-Dada en \( R_3 \) una base cualquiera (por ejemplo, la que he escrito más arriba), la misma permite generar tres planos distintos en \( R_3 \) a partir de elegir como vectores directores a, alternativamente, los 3 pares posibles que pueden elegirse de entre los 3 vectores de la base.

Correcto.

2-Lo anterior me lleva a pensar que el hecho de simbolizar un plano afín, por ejemplo, con la notación \( z'=1 \) es una convención (notacional) en el sentido de que indicaría que la coordenada identificada con/como \( z' \) queda excluída en cada caso del par de vectores directores que determinan el plano: siendo convencional el hecho de tomar dicha coordenada (siguiendo un mismo orden...) como la correspondiente al tercer vector de la base empleada.

No. En primer lugar no veo como (1) te pude llevar a la conclusión que expones.

En segundo lugar, cuando en el plano proyectivo, entendido como el conjunto de rectasvectoriales de \( R^3 \), se selecciona un plano afín, se da la ecuación de un plano vectorial. El plano afín son los puntos proyectivos (las rectas de \( R^3 \)) que no están contenidas en el plano seleccionado. Cuando se indica que se toma la carta afín \( z'=1 \) (a mi no me agrada esa forma de expresarlo) en realidad se indica que se está dando la ecuación del plano vectorial \( z'=0 \) y por tanto quedándonos con todos los puntos proyectivos con coordenada \( z'\neq 0 \). Cualquiera de esos puntos proyectivos \( (x':y':z') \) con \( z'\neq 0 \) tiene un representante con la tercera coordenada igual a \( 1 \):

 \( (x':y':z')\equiv (x'/z',y'/z',1) \)

Recuerda que un punto proyectivo corresponde a una recta vectorial de \( R^3 \). Por tanto cualquier vector director de la misma representa el mismo punto proyectivo.

3-Dada una base cualquiera en \( R_3 \), el conjunto de vectores dado por \( (a, b, 1) \) con \( a,b \epsilon\mathbb{R} \) representa un plano.

Correcto en el sentido que expliqué antes.

Ahora trataré de pasar a la cuestión que tú planteas (1 y 2).

Para empezar, diré que hasta cierto punto tengo en cuenta que en libro de Santaló se define subespacio afín como aquél resultante de excluir del espacio proyectivo a la recta del infinito (ó al menos, algún hiperplano).

Por lo que creo entender, la definición de Santaló de subespacio afín es compatible con tu alternativa 2: puesto en otros términos, se trataría del espacio proyectivo excluída (menos) la recta del infinito.

Si, con lo que dices, claramente el contexto en que te mueves es el que indiqué en mi segunda alternativa.

a-Ello implicaría todos los infinitos planos de la forma \( (a, b, k) \) con \( a,b\epsilon\mathbb{R} \) variables y \( k \) un escalar fijo (excepto cero) en cada caso.

b-En este contexto, me atrevería a escribir que dicho conjunto infinito de planos es una carta afín (mera deducción por comparación de expresiones). Es decir, la definición de Santaló de la que hablo, parecería referir al concepto de carta afín.

Esto no es correcto. La idea de carta afín es la que comenté en el punto (2) de este mensaje.

c-De aquí, que (también por mera deducción) la diferencia implícita en la alternativa que tú planteas (1 y 2) se podría expresar en términos de: un conjunto infinito de planos (=carta afín en un espacio proyectivo) vs. un plano único (afín?) (como espacio de geometría afín?).

No entiendo bien lo que dices; pero yo no me complicaría. Son puntos de vista completamente diferentes.

d-Todo esto me lleva (sin saber si es lo más natural), lógicamente, a la cuestión del cuarto punto en un espacio proyectivo; osea, a la cuestión del establecimiento de una base proyectiva (mediante una cuarta coordenada).

e-Improvisaría algo como lo siguiente: el establecimiento de un cuarto punto (ó cuarta coordenada) permite establecer una base en una carta afín, de modo que del conjunto infinito de planos, quede determinado un único plano.

¿Algo de esto es correcto? Muchas gracias y un saludo!
[/quote]

El problema es que tres puntos proyectivos no determinan una base de \( R^3 \), porque tres rectas vectoriales no determinan tres vectores sino tres direcciones.

Por eso hace falta un cuarto punto proyectivo; exigiendo que los vectores directores de las tres primeras rectas vectoriales sumen el cuarto, se consigue determinar de manera unívoca la base salvo producto por escalar.

Pero precisamente las coordenadas proyectivas son únicas salvo producto por escalar.

Saludos.

[athair]

Gracias por la detallada respuesta!! El segundo párrafo de la misma me sugiere tantas cosas que trataré de captar algunas aquí para repreguntar.

a-Si para seleccionar un plano afín en el plano proyectivo, se da la ecuación de un plano vectorial, yo diría que se especifica una ecuación como \( ax+by+cz+d=0 \).

Al seguir la explicación ulterior, no obstante, respecto de que el plano afín consiste en los puntos proyectivos que NO están contenidos en el plano vectorial dado, eso sugiere que la especificación del plano afín por vía de un plano vectorial debe empezar por un plano vectorial por el origen: ahora, los puntos proyectivos que NO están contenidos en este plano pueden representarse por medio de un plano vectorial, y en particular, por medio de aquél plano correspondiente al hecho de que la tercera coordenada (en alguna base) quede igualada a 1 (cosa simple por ser los puntos proyectivos clases de equivalencia...ó rectas vectoriales).

Pero todo esto, si no me equivoco, podría reexpresarse en los términos que surgieran de empezar hablando de una base en \( R_3 \), la que define, un cierto plano vectorial en los elementos de la forma \( (a, b, 1) \), haciendo la aclaración de cómo es que un cuarto punto está operando para que el plano tome esa especificación, etc. Esto me parece un poco complicado, así que haré unas preguntas simples sobre le cuarto punto proyectivo.

1-Si tengo 3 puntos proyectivos como \( \lambda_1(x_1,y_1,z_1); \lambda_2(x_2, y_2, z_2); \lambda_3(x_3, y_3, z_3) \), entonces un cuarto punto suma de los mismos como el siguiente \( (x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3, z_1+z_2+z_3) \) implica algo así como, luego, \( x_1+x_2+x_3=\lambda_1...etc. \)?

2-Sería válido pensar que, dado un plano vectorial dado por dos vectores directores y un tercer vector, el agregar un cuarto punto permitiría alterar las longitudes (especificadas) de dichos elementos, de manera no proporcional (ó no necesariamente proporcional) de modo de determinar un segundo plano vectorial después de aplicar los componentes del cuarto vector, por separado, a los tres vectores iniciales?

3-La suma expresada en 1 implica que los componentes del cuarto punto se aplican, cada uno a un vector distinto (de los tres dados), es decir, por separado?


pd: el  énfasis de las negritas se debe a que el concepto, aunque percibo que es simple, no logro visualizarlo geométrica, ni analíticamente...es decir, la normación que produce, de ser tres distintas, no sé en qué momento opera...por así decir...(lo único que se me ocurre ahora, es que modifique la matriz de una proyectividad entre planos proyectivos...pero no sé...

Gracias nuevamente por la infinita paciencia! Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

a-Si para seleccionar un plano afín en el plano proyectivo, se da la ecuación de un plano vectorial, yo diría que se especifica una ecuación como \( ax+by+cz+d=0 \).

Eso no es la ecuación de un plano vectorial. Sobra el término independiente. Sería \( ax+by+cz=0 \).

1-Si tengo 3 puntos proyectivos como \( \lambda_1(x_1,y_1,z_1); \lambda_2(x_2, y_2, z_2); \lambda_3(x_3, y_3, z_3) \), entonces un cuarto punto suma de los mismos como el siguiente \( (x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3, z_1+z_2+z_3) \) implica algo así como, luego, \( x_1+x_2+x_3=\lambda_1...etc. \)?

No entiendo muy bien a donde quieres ir a parar con esto. Pero no veo que de tus hipótesis se siga tu conclusión. Para mi es desconcertante,

2-Sería válido pensar que, dado un plano vectorial dado por dos vectores directores y un tercer vector, el agregar un cuarto punto permitiría alterar las longitudes (especificadas) de dichos elementos, de manera no proporcional (ó no necesariamente proporcional) de modo de determinar un segundo plano vectorial después de aplicar los componentes del cuarto vector, por separado, a los tres vectores iniciales?

Trabalenguas. No entiendo nada. No entiendo la idea que intentan exponer. En general las preguntas de "sería válido pensar..." son difusas. Tu tienes derecho a pensar lo que quieras.

3-La suma expresada en 1 implica que los componentes del cuarto punto se aplican, cada uno a un vector distinto (de los tres dados), es decir, por separado?

No. Y perdón por lo escueto de la respuesta, pero es que una vez más no veo a donde quieres ir a parar. De nuevo es una observación desconcertante.

Saludos.

[athair]

Bueno, muchas gracias por leer estos "jeroglificos"... y responder a los mismos!!!

Trato de reexpresar una última pregunta y luego intentaré reflexionar por mi cuenta.

1-Si tuviera 3 vectores \( (3, 2, 1) \),\( (1, 2, 3) \) y \( (2, 0, 1) \), en primer lugar; y agrego el siguiente cuarto vector (suma de los tres primeros):\( (6, 4, 5) \), entonces una expresión como la siguiente \( 6(3, 2, 1)+4(1, 2, 3)+5(2, 0, 1) \) sería una de las aplicaciones del cuarto vector? Lo mismo para el siguiente conjunto: \( {6(3, 2, 1); 4(1, 2, 3); 5(2, 0, 1)} \)?

Un saludo (y mis disculpas...)!!