[borgoras]

Me han planteado este ejercicio y se me ocurrió usar el teorema del resto pero creo que estoy confundido en mi planteamiento. Si alguien me pudiese ayudar, el ejercicio es el siguiente:

Trazamos una recta al azar por un punto situado en una circunferencia de radio \( r \). Elegida al azar significa que el ángulo \( \theta \) que se muestra en la figura se elige uniformemente entre \( 0 \) y \( \pi \). La recta elegida determina una cuerda en la circunferencia que tiene longitud \( L(\theta) \). Hallar el valor esperado de \( L(\theta) \).

Adjunto la imagen asociada al ejercicio.

Gracias. ¡Saludos!

[pierrot]

Tienes que \( L(\theta)=2r\sen(\theta) \) con \( \theta\sim U([0,\pi]) \). Luego su esperanza es

\( \mathbb{E}\big(L(\theta)\big)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}2r\sen(t)f_{\theta}(t)dt=\frac{2r}\pi\int_0^\pi\sen(t) dt=\frac{4r}\pi \)

[borgoras]

Antes de nada gracias por tu respuesta.

Entiendo cuando usas la esperanza, la expresión que utilizas pero me pierdo cuando pasas de una integral a la otra.
¿Me podría explicar ese paso?
De todas formas seguiré dándole vueltas a ver si llego a entenderlo.

Gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Antes de nada gracias por tu respuesta.

Entiendo cuando usas la esperanza, la expresión que utilizas pero me pierdo cuando pasas de una integral a la otra.
¿Me podría explicar eses paso?
De todas formas seguiré dándole vueltas a ver si llego a entenderlo

Gracias de nuevo.

Fíjate en que \( f_\theta(t) \) es la función de densidad de la uniforme en \( [0,\pi] \) por tanto es la función:

\(
f_\theta(t)=\begin{Bmatrix} 1/\pi & \mbox{ si }& t\in [0,\pi]\\0 & \mbox{ en otro caso}\end{matrix} \)


Saludos.