Hola
Feriva en cuanto a tu proceso para sacar el polinomio, que pasos has dado para sacarlo a la hora de operar? has utilizado el método de la traza? Sería de gran ayuda ver los pasos anteriores que has seguido para poder verlo con más claridad.
En mi opinión lo que Feriva llama el "método de la traza" (nombre que no me agrada del todo, porque pareciera que los cálculos sólo dependen de la traza) es una complicación innecesaria. Quiero decir que con saber resolver determinantes uno no necesita memorizar ninguna técnica adicional para hallar polinomios característicos.
En tu caso:
\( \left|\begin{matrix}{5-\lambda}&{0}&{0}\\{0}&{-\lambda}&{p+2}\\{0}&{2}&{p-\lambda}\end{matrix}\right|=(5-\lambda)\left|\begin{matrix}{-\lambda}&{p+2}\\{2}&{p-\lambda}\end{matrix}\right|=(5-\lambda)[-\lambda(p-\lambda)-2(p+2)]= \)
\( =(5-\lambda)[\lambda^2-p\lambda-2(p+2)] \)
Resolvemos la ecuación de segundo grado para seguir factorizando:
\( \lambda^2-p\lambda-2(p+2)=0 \)
\( \lambda=\dfrac{p\pm \sqrt{p^2+8p+16}}{2}=\dfrac{p\pm \sqrt{(p+4)^2}}{2}=\dfrac{p\pm (p+4)}{2}=\begin{Bmatrix} p+2 \\ \\ -2 \end{matrix} \)
Con lo que el polinomio característico resulta:
\( (5-\lambda)(\lambda+2)(\lambda-(p+2)) \)
Saludos.
