[Jano]

Hallar el supremo y el ínfimo de \( S = \left\{{1 - \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}: n \in{N}}\right\} \)

[Gustavo]

\( S=\left\{ 1-\dfrac{1}{2n}:n\in\Bbb N\right\}\cup\left\{ 1+\dfrac{1}{2n-1}:n\in\Bbb N\right\} \)

\( \sup(S)=2,\qquad \inf(S)=\dfrac12 \)

[Jano]

Si, lo entiendo pero, meticulosamente, como llegas a la conclusion de que el supremo es 2 y el ínfimo es 0.5?

[Gustavo]

Para este problema en particular

- Se escribe S como unión de dos conjuntos A y B: el primero contiene los naturales pares (i.e., \( n=2k \) para \( k\in\Bbb N \)), y el segundo los naturales impares (\( n=2k-1 \) para \( k\in\Bbb N \)).

- Se debe determinar el supremo e ínfimo de \( S=A\cup B. \) Se usa entonces que \( \sup(S)=\max\{\sup(A),\sup(B)\} \) y de forma análoga para el ínfimo.

- El conjunto A se puede ver como una sucesión (acotada) estrictamente creciente; por tanto, su ínfimo será el primer término y su supremo será \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\dfrac{1}{2n}=1. \)

Lo mismo se hace con B y se concluye.

[Jano]

Muchísimas gracias por la respuesta, me ha servido de mucho.