[mathsandphysics]

Saludos compañeros. Esta vez me dan el siguiente enunciado:

Seab\(  \mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3,v_4) \) una base de \( \mathbb{R}^4 \) y sea \( f:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) una aplicación lineal tal que

\(  \text{Nuc} \;  f=\langle v_1+v_4, v_1-v_4 \rangle \),    \(  f(v_1+v_2+v_3)=3v_2-5v_3$,   $f(v_1+v_2-v_3+v_4)=v_2+v_3 \)


1. Encontrad la matriz de f en la base de \( \mathcal{B} \).


2. Calculad la matriz de fen la base \( (w_1,w_2,w_3,w_4) \)

\(
w_1=(1,1,1,1)_\mathcal{B} , \quad w_2=(1,1,1,0)_\mathcal{B}, \quad w_3=(1,1,0,0)_\mathcal{B}, \quad w_4=(1,0,0,0)_\mathcal{B} \)


3. Sea \( V=\langle w_2,w_3,w_4\rangle \). Demostrad que \( f(V) \subset V \).



4. Calculad la matriz de la restricción de f a V.

\( f_{\mid V}:V \rightarrow V, \quad \forall v\in V, \quad f_{\mid V}(v)=f(v) \in V \) en la base en la base \( (w_2,w_3,w_4) \).


El apartado 1. y 2. los tengo. En el apartado 3. tengo dudas. Se me ocurre escribir una combinación lineal genérica \( aw_1+bw_2+cw_3 \) y ver que su imagen ¿expresada en la base de las \( w \)? es combinación lineal de \( w_1,w_2,w_3 \). Pero como digo, no estoy muy seguro.

Y respecto al 4., no tengo ni idea cómo cogerlo.
¿Alguna ayuda?

Muchas gracias de antemano 

[Luis Fuentes]

Hola

 (3) Las ecuaciones implícitas del subespacio \( V \) en la base \( B'=\{w_1,w_2,w_3,w_4\} \) son simplemente:

\(  y_1=0 \)

 (estoy denotando por \( (y_1,y_2,y_3,y_4) \) las coordenadas en tal base).

 Basta que compruebes que \( f(w_2),f(w_3),f(w_4) \) cumplen esa ecuación. Para hallar esas imágenes usa la matriz asociada respecto a la base \( B \) previamente calculada.

 (4) Una restricción es considerar la misma aplicación definida en un subespacio más pequeño. Ahora por definición de matriz asociada, para hallar la matriz asociada en la base \( \{w_2,w_3,w_4,\} \) debes de hallar la imagen de esos tres vectores y expresarla en esa misma base: las coordenadas obtenidas son las columnas de tu matriz.

 Verás que resultan las tres últimas filas y columnas de la matriz hallada en (2).

Saludos.

[mathsandphysics]

Muchas gracias el_manco, me has orientado bastante.

Sigo teniendo algunas dudas:

(3) Cuando dices que \( f(w_2),f(w_3),f(w_4) \) los calcule usando la matriz del apartado a), las imágenes que obtendre estarán expresadas en la base \( \mathcal{B} \). ¿Pero no necesito tenerlos expresadas en la base \( \mathcal{B}' \)? Es decir, ¿no tendría que meter los vectores \( w \) expresados en la base \( \mathcal{B}' \), y mediante la matriz obtenida en el apartado (2) obtener las imágenes en la base \( \mathcal{B}' \)?


(4) La imagen de los 3 vectores \( w_1,w_2,w_3 \) las obtenemos en la base \( \mathcal{B}' \). Ahora para pasarlo a la base de V basta quitarle los 0 iniciales a las imágenes que obtengamos. Pero tengo dudas a la hora de expresar cómo calcular esa matriz formalmente.

Muchas gracias de nuevo.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

(3) Cuando dices que \( f(w_2),f(w_3),f(w_4) \) los calcule usando la matriz del apartado a), las imágenes que obtendre estarán expresadas en la base \( \mathcal{B} \). ¿Pero no necesito tenerlos expresadas en la base \( \mathcal{B}' \)? Es decir, ¿no tendría que meter los vectores \( w \) expresados en la base \( \mathcal{B}' \), y mediante la matriz obtenida en el apartado (2) obtener las imágenes en la base \( \mathcal{B}' \)?

Perdón; quise decir mediante la matriz  respecto a la base \( B'. \)

(4) La imagen de los 3 vectores \( w_1,w_2,w_3 \) las obtenemos en la base \( \mathcal{B}' \). Ahora para pasarlo a la base de V basta quitarle los 0 iniciales a las imágenes que obtengamos. Pero tengo dudas a la hora de expresar cómo calcular esa matriz formalmente.

Es correcta la observación que haces. ¿Cuáles son esas dudas?.

Saludos.

[mathsandphysics]

He llegado a que:

\( f(\omega_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 8 \\ -3 \end{pmatrix}_{\mathcal{B}_\omega}, \quad f(\omega_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}_{\mathcal{B}_\omega},  \quad f(\omega_4)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{\mathcal{B}_\omega} \)
 
Ahora tan solo hemos de expresar estos vectores en la base de los \( \omega_2, \omega_3, \omega_4 \) . Para ello, utilizaremos la matriz Q del cambio de base:

\( Q=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Por tanto, la matriz de restricción \( M_{\mid V} \) es:

\( M_{\mid V}=Q\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -5 & -2 & 0 \\ 8 & 4 & 0 \\ -3 & -2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&-2 & 0 \\ 8 & 4 & 0 \\ -3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \)

¿Es correcto el planteamiento?

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 No es muy correcto decir que usas una matriz da cambio de base; la base \( B' \) y la base formada por tres vectores no son bases de un mismo espacio vectorial; por tanto en general no tiene sentido cambiar de una a la otra.

 Simplemente que:

\(  f(w_2)=(0,-5,8,3)_{B'} \)

 significa que:

\(  f(w_2)=0\cdot w_1-5\cdot w_2+8\cdot w_3+3\cdot w_4=-5\cdot w_2+8\cdot w_3+3\cdot w_4 \)

 De nuevo por definición de coordenadas eso significa que las coordenadas de \( f(w_2) \) respecto a la base \( \{w_2,w_3,w_4\} \) son \( (-5,8,3) \). Y esa es la primera columna de tu matriz.

Saludos.