[aracheli]

hola quisiera que me ayudaran con la siguiente demostración
sea A una matriz 2x2 con elementos reales. para  X, Y  en\(  F^{2x1} \), sea \( f_A(X,Y)=Y^t AX \)
 


Demostrar que \( f_A \) es producto interno sobre \( R^{2X1} \Longleftrightarrow{A=A^t},, A_{11} >0, A_{22} >0   \) y \( det A>0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Para que \( f_A \) sea producto interno debe de ser bilineal, simétrica y definida positiva.

 - \( f_A \) es siempre lineal (compruébalo).

 - \( f_A \) es simétrica si y sólo si lo es la matriz \( A \) (creo que te ha faltado indicar que \( A \) es simétrica).

Spoiler

\(  f_A(X,Y)=f_A(Y,X)\quad \Leftrightarrow{}\quad Y^tAX=X^tAY=(X^tAY)^t=Y^tA^tX \)

[cerrar]

 - Para estudiar si es definida positiva hay que ver si:

 \( f_A(X,X)>0 \) para todo \( X\neq 0 \)

 Observa que (siendo \( A \) simétrica):

\(  f_A(X,X)=A_{11}X_1^2+2A_{12}X_1X_2+A_{22}X_2^2 \)

 - Si \( A_{11}\leq 0 \) entonces \( f_A((1,0),(1,0)\leq 0 \)
 - Si \( A_{22}\leq 0 \) entonces \( f_A((0,1),(0,1))\leq 0 \)
 - Para \( A_{11},A_{22}>0 \),  \( f_A(X,X)>0 \) para cualquier \( X\neq 0 \) si la ecuación de segundo grado:

\(  A_{11}z^2+2A_{12}z+A_{22} \)

 no tiene soluciones reales (su discrimimante es positivo).

Saludos.