[lmnop]

Tengo el siguiente problema:

Hallar la ecuación de un plano tangente a la superficie \( x^2-y^2+z^2+2x+4y-z=3 \) que sea paralelo al plano coordenado xy.

Teniendo la ecuación de un plano \( F_x(x - x_0) + F_y(y - y_0) + F_z(z - z_0) = 0 \) me faltaría sacar un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) para poder calcular el plano tangente, ya que necesito dicho punto tanto para la fórmula en sí como para poder evaluar las derivadas parciales. El problema es que no se como obtenerlo, no entiendo bien lo del plano coordenado xy.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para que el plano tangente a la superficie sea paralelo al plano XY, sus vectores normales han de ser paralelos.

 El vector normal de un plano tangente a la superifice:

\(  (F_x,F_y,F_z) \)

 El vector normal del plano \( XY \) es \( (0,0,1) \).

 Por tanto ha de cumplirse que:

\(  F_x=0,\quad F_y=0. \)

Saludos.

[lmnop]

\( F_z = 2z - 1  \)

Si la evaluo en el (0,0,1) quedaría que es igual a 1 y sustituyendo en la fórmula del plano según la condición de que \( F_x \) y \( F_y  \) tienen que ser 0, el resultado sería que la fórmula del plano es \(  z - 1 = 0  \).

Es esta la solución? Nunca había visto una ecuación de un plano tan simple.

[Luis Fuentes]

Hola

\( F_z = 2z - 1  \)

Si la evaluo en el (0,0,1) quedaría que es igual a 1 y sustituyendo en la fórmula del plano según la condición de que \( F_x \) y \( F_y  \) tienen que ser 0, el resultado sería que la fórmula del plano es \(  z - 1 = 0  \).

Es esta la solución? Nunca había visto una ecuación de un plano tan simple.

No entiendo lo que has hecho.

Tienes que:

\( F_x=2x+2,\qquad F_y=-2y+4,\quad F_z=2z-1 \)

Para que el plano tangente sea paralelo al \( XY \), como hemos dicho tiene que cumplirse que \( F_x=F_y=0 \), es decir, el punto \( (x,y,z) \) de tangencia cumple:

\( 2x+2=0,\qquad -2y+4=0 \)

De donde \( x=-1,\quad y=2 \). Además el punto ha de cumplir la ecuación de la superifice, susituyendo estos valores de \( x,y \) en su ecuación te queda:

\( 1-4+z^2-2+8-z-3=0\quad \Leftrightarrow{}\quad z^2-z\color{red}+2\color{black}=0 \)

Pero esa ecuación no tiene soluciones reales; por tanto no hay ningún plano tangente a la superficie dada paralelo al \( XY \).

(revisa mis cuentas y el enunciado).

Saludos.

CORREGIDO (las cuentas en rojo tienen un error)

[lmnop]

Nada, olvida lo anterior, una pequeña confusión con lo de igualar a 0 las derivadas parciales...

He visto que te has equivocado al sumar, sustituyendo x e y queda \( z^2-z=0 \) cuyas soluciones son 1 y 0.

Esto implica que para hallar el plano tangente simplemente tendría que elegir o bien el (-1,2,0) o bien el (-1,2,1)?

\(  0*(x+1) + 0*(y-2) - 1*(z-0) = 0 --> -z = 0 --> z = 0  \)

o bien

\(   0*(x+1) + 0*(y-2) + 1*(z-1) = 0 --> z - 1 = 0  \)

[Luis Fuentes]

Hola

He visto que te has equivocado al sumar, sustituyendo x e y queda \( z^2-z=0 \) cuyas soluciones son 1 y 0.

Si, tienes razón. Disculpa.

Esto implica que para hallar el plano tangente simplemente tendría que elegir o bien el (-1,2,0) o bien el (-1,2,1)?

\(  0*(x+1) + 0*(y-2) - 1*(z-0) = 0 --> -z = 0 --> z = 0  \)

o bien

\(   0*(x+1) + 0*(y-2) + 1*(z-1) = 0 --> z - 1 = 0  \)

Cualquiera de los dos planos cumplen las condiciones exigidas por el enunciado. Es decir hay dos soluciones.

Saludos.

[lmnop]

Ok! Gracias por tu ayuda.

edit: me podría explicar como sabes que el vector normal del plano XY es (0,0,1)? Es que estoy intentando verlo y no lo veo.
Y pq el plano paralelo debe cumplir únicamente que \(  F_x = 0  \) y \( F_y = 0 \) y no también que \(  F_z = 1  \)?

[aladan]

Ok! Gracias por tu ayuda.

edit: me podría explicar como sabes que el vector normal del plano XY es (0,0,1)? Es que estoy intentando verlo y no lo veo.
Y pq el plano paralelo debe cumplir únicamente que \(  F_x = 0  \) y \( F_y = 0 \) y no también que \(  F_z = 1  \)?

Entiendo que sabes que todo plano responde a la ecuación

                              \( ax+by+cz+d=0 \)

pero ¿conoces lo que representa con relación a ese plano el vector de componentes \( (a,b,c)? \)?

Saludos

[lmnop]

Se que para que dos planos sean paralelos deben tener la misma a,b y c, de aqui es la segunda pregunta de por qué no se utilza tambien el \( F_z = 1 \)

Y lo del vector normal del plano XY, es que a mi me viene a la mente que sería (1,1,0), pero veo que no es así, por eso pregunto que como se obtiene.

Yo soy de informática, me queda una única asignatura de matemáticas para terminar la carrera, por eso estoy mirando "a lo rápido" por así decirlo el como realizar los ejercicios más que comprender el por qué matemático.

[Luis Fuentes]

Hola

Se que para que dos planos sean paralelos deben tener la misma a,b y c, de aqui es la segunda pregunta de por qué no se utilza tambien el \( F_z = 1 \)

No es correcto.

Para que dos planos \( ax+by+cz+d=0 \) y \( a'x+b'y+c'z+d'=0 \) la condición necesaria y suficiente es que los vectores normales \( (a,b,c) \) y \( (a',b',c) \) sean proporcionales (no necesariamente iguales).

Y lo del vector normal del plano XY, es que a mi me viene a la mente que sería (1,1,0), pero veo que no es así, por eso pregunto que como se obtiene.

No tiene que "venir nada a la mente". La ecuación del plano \( XY \) es \( z=0 \), o si prefieres, \( 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+0=0 \) por eso su vector normal es \( (0,0,1) \).

Yo soy de informática, me queda una única asignatura de matemáticas para terminar la carrera, por eso estoy mirando "a lo rápido" por así decirlo el como realizar los ejercicios más que comprender el por qué matemático.

Cuidado, porque eso puede ser un arma de doble filo. Muchas veces motivados por la prisa nos empecinamos en no esforzarnos en entender las cosas, sino simplemente saber "trucos" para salir del paso. El problema es que eso hace que cometamos muchos mas errores y se pierde más tiempo subsanándolos, que si nos hubiéramos parado un momento a entender lo que estamos haciendo.

Saludos.