Bueno, vamos a ver si es posible aclarar el tema por completo.
Repito un mensaje mío anterior por las notaciones:
Hola choboku:
A ver si no me lío.
Suponemos que estamos en cierto punto \( x_0 \) y nos movemos un poquito, una cantidad h que puede ser "tan pequeña como se quiera", aunque le podemos dar cualquier valor. hasta llegar a \( x_1 = x_0 +h \). Entonces:
\( \Delta x = h \) es el incremento de la variable independiente.
\( \Delta f(x_0) = f(x_0 +h) - f(x_0) \) es el incremento de la función
\( d f(x_0) = f'(x_0) h \) es el diferencial de la función (igual a la derivada por el incremento de la función)
Espero que esto te ayude.
En caso contrario, continúa preguntando.
Hasta pronto
Ahora, según las notaciones que puse
\( f(x) = 2x^2 \) entonces \( f^{\prime} (x) = 4x \) y \( \Delta x = h \)
Según la definición de diferencial \( df(x)= f^{\prime} (x) h \)
Por tanto
\( \displaystyle\frac{\Delta f(x) - df(x)}{\Delta x}= \displaystyle\frac{2(x+h)^2 - 2x^2 -4xh}{x+h-x} =\displaystyle\frac{2(x^2 +2xh+h^2)-2x^2-4xh}{h} = \displaystyle\frac{2x^2 +4xh+2h^2 -2x^2 -4xh}{h} = \displaystyle\frac{2h^2}{h} = 2h \)
Y eso tiende a cero cuando h tiende a cero
Como queríamos demostrar.
Bueno, a ver si resulta claro.
Hasta pronto
