[Dabt]

Sean \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) y  \( g:Y\rightarrow{\mathbb{R}} \) con \( f\left ( X \right )\subset{Y} \), \( a\in{X'}  \) y \( b\in{Y\cap{Y'}} \).
Si \( \displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)}=b  \) y \( \displaystyle\lim_{y \to b}{g(y)}=c \), pruebe que \( \displaystyle\lim_{x \to a}{g(f(x))}=c \), siempre que \( c=g(b) \) o que \( x\neq{a} \) implique \( f(x)\neq{b} \).
 Ya logre demostrar que si \( x\neq{a} \) implica \( f(x)\neq{b} \), entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a}{g(f(x))}=c \). La otra parte es la que no logro hacer.
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero me cuesta entender que seas capaz de hacer una parte y no la otra. Los argumentos de la que has hecho son perfectamente adaptables a lo que te falta.

 Fíjate que para puntos tales que \( f(x)\neq b \) estás en las hipótesis de lo que ya has probado.

 Para puntos en los que \( f(x)=b \) tienes que \( g(f(x))=c \) y eso "arregla" los posibles problemas.

 Inténtalo.

Saludos.